וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ה7. מרחק נקודה מישר במרחב בשתי שיטות
ה8. זוויות במרחב בעזרת דוט
ו1. מרחק בין ישרים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו2. מרחק בין נקודה למישור במרחב שתי שיטות
ו3. מרחק ביו מישורים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו4. נקודות החיתוך של מישור עם הצירים
ו5. מרחק ישר ממישור
ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים
ו7. מרחק בין ישרים מצטלבים
חישוב מרחק בין שני מישורים מקבילים
רמת קושי: קל
נתונים המישורים: מישור 1: 2x - y + 2z + 10 = 0 מישור 2: 4x - 2y + 4z + 20 = 0 חשבו את המרחק בין שני המישורים.
רמז: ראשית וודאו שהווקטורים הנורמלים פרופורציונליים, לאחר מכן השתמשו בנוסחה למרחק בין שני מישורים מקבילים.
תשובה סופית: 0
המישורים הם מקבילים כי הווקטורים הנורמלים הם פרופורציונליים (2, -1, 2) ו-(4, -2, 4) שהם פי 2. נכפיל את המישור השני ב-1/2 כדי להשוות נורמל: 4x - 2y + 4z + 20 = 0 ⇨ 2x - y + 2z + 10 = 0 לכן D1=10; D2=10 לפי הנוסחה המרחק הוא: |D1 - D2| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = |10 - 10| / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = 0 נראה שהמרחק הוא 0, כלומר המישורים חופפים.
שיטה באמצעות הפרשי D ונורמל במישורים
מישור ראשון: 2x - y + 2z + 10 = 0מישור שני: 4x - 2y + 4z + 20 = 0לאחר זיהוי שהווקטורים הנורמלים פרופורציונליים, ננרמל את המשוואות לאותו וקטור ונחשב את המרחק
d = |D1 - D2| / sqrt(A squared + B squared + C squared)d = |D1 - D2| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)d = (|D_1 - D_2|)/(A^2 + B^2 + C^2)מחלקים את המשוואה השנייה ב-2 כדי להשוות לנורמל ראשון.
מכניסים ערכים למספרים ומבצעים חישוב פשוט.
שימו לב לכתיבה של שני המישורים.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
שימו לב לכתיבה של שני המישורים. זיהוי מקדמים בפרמטרים A,B,C ו-D.
למה
המקדמים מייצגים את הנורמל לכל מישור ומאפשרים בדיקת מקביליות.
המשוואות הן 2x - y + 2z + 10 = 0 ו-4x - 2y + 4z + 20 = 0
בחירת שיטה
מה עושים
בודקים אם וקטורי הנורמל הם פרופורציונליים. מכפילים או מחלקים כדי שווקטורי הנורמל שווים.
למה
שרק אם הווקטורים שווים ניתן לדבר על מרחק בין מישורים מקבילים.
וקטור נורמל ראשון: (2, -1, 2), משני: (4, -2, 4) האם המשני = 2 * הראשון? כן.
אפשר לכפול את המשוואה הראשונה בשתיים או לחלק את השנייה בשתיים.
בניית משוואה
מה עושים
מחלקים את המשוואה השנייה ב-2 כדי להשוות לנורמל ראשון.
למה
מקל על המשוואה ומייעל חישוב מרחק.
משוואה שנייה לאחר חלוקה: 2x - y + 2z + 10 = 0.
פתרון
מה עושים
מחשבים |D1 - D2| חלקי שורש סכום ריבוע המקדם.
למה
זו הנוסחה שמאפשרת לחשב את המרחק בין המישורים.
נוסחה / הצבה
d = |D1 - D2| / sqrt(A squared + B squared + C squared)d = |D1 - D2| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)d = (|D_1 - D_2|)/(A^2 + B^2 + C^2)שימו לב לשימוש בערך מוחלט.
תשובה
מה עושים
מכניסים ערכים למספרים ומבצעים חישוב פשוט.
למה
כדי לקבל את המרחק המספרי בין שני המישורים.
|10 - 10| / sqrt(4 + 1 + 4) = 0 / 3 = 0
כאשר ה-Dים שווים, המישורים חופפים, והמרחק הוא אפס.