וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים
ו7. מרחק בין ישרים מצטלבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר למציאת המרחק בין שני ישרים מצטלבים באמצעות וקטורים והנוסחה המתאימה.
- להבין מהו ישרים מצטלבים ואיך לזהות אותם.
- לידון כיצד מייצגים ישרים וקטורית.
- ללמוד לחשב וקטור כוכב בין הישרים.
- להשתמש בנוסחה למציאת המרחק בין ישרים מצטלבים.
- לתרגל פישוט חישובים וקטוריים כולל מכפלה וקרוס.
- להפנים את החשיבות שלא לצמצם בעת חישובי וקטורים לאורךיים.
- הצגת הישרים ווקטורים: הכרת הישרים המצטלבים דרך וקטורים ודרך נקודות.
- חישוב וקטור כוכב: יצירת וקטור כוכב המייצג את הוקטור שמתחיל בנקודה על ישר אחד ומסתיים בנקודה על השני.
- הנוסחה למציאת המרחק: שימוש במכפלה וקרוס לחישוב המרחק בין ישרים מצטלבים.
תרגול קצר
חישוב המרחק בין שני ישרים מצטלבים
רמת קושי: קל
נתונים שני ישרים המצוטלבים: ישר 1 עם וקטור כיוון v1 = (1, 2, 0) ונקודה r1 = (2, 1, 0), וקטוע 2 עם וקטור כיוון v2 = (0, 1, 3) ונקודה r2 = (3, 3, 1). חשב את המרחק בין הישרים.
רמז: חשב תחילה את הוקטור הכוכב r2 - r1, אחר כך את מכפלת הקרוס של הוקטורים v1 ו-v2, לבסוף השתמש בנוסחה d = |(v1 × v2) • (r2 - r1)| / |v1 × v2|.
פתרון מלא
תשובה סופית: 0.147
וקטור הכוכב: r2 - r1 = (3-2, 3-1, 1-0) = (1, 2, 1). מכפלת קרוס: v1 × v2 = (1,2,0) × (0,1,3) = (2*3 - 0*1, 0*0 - 1*3, 1*1 - 2*0) = (6, -3, 1). גודל המהלך: |v1 × v2| = שורש (6^2 + (-3)^2 + 1^2) = שורש (36 + 9 + 1) = שורש 46. מכפלה סקלרית: (v1 × v2) • (r2 - r1) = (6, -3, 1) • (1, 2, 1) = 6*1 + (-3)*2 + 1*1 = 6 - 6 + 1 = 1. המרחק d = |1| / שורש 46 ≈ 0.147. תוצאה: המרחק בין הישרים הוא בערך 0.147 יחידות אורך.
דרך הפתרון
מפת פתרון: מרחק בין ישרים מצטלבים
כיצד לחשב את המרחק בין שני ישרים מצטלבים בקלות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא המרחק בין הישרים המצטלבים
- נתון 1
וקטור כיוון של ישר 1: v1
- נתון 2
וקטור כיוון של ישר 2: v2
- נתון 3
נקודה על ישר 1: r1
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את המכפלה הקרוס בין וקטורי הכיוון, נבנה את וקטור הכוכב, ונשתמש בנוסחה למרחק בין ישרים
- נוסחה
חשב את המכפלה הוקטורית (קרוס) בין v1 ל-v2
v = v1 × v2v = v_1 x v_2 - משוואה
חשב את המכפלה הסקלרית בין וקטור הקרוס לוקטור הכוכב
חשב את המכפלה הסקלרית בין וקטור הקרוס לוקטור הכוכב
d = abs(v • (r2 - r1))d = |v • (r2 - r1)|d=|v * (r_2 - r_1)| - פישוט
חשב את הערך המוחלט (הנורמה) של וקטור הקרוס
חשב את הערך המוחלט (הנורמה) של וקטור הקרוס
abs(v) = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2)|v| = שורש סכום ריבועי הרכיבים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הוקטורים והנקודות
זיהוי נתונים
הגדרת הוקטורים והנקודות
מה עושים
רשום את וקטורי הכיוון v1, v2 ושל שתי הנקודות r1, r2
למה
כולל את הנתונים הבסיסיים הדרושים לחישוב המרחק
קבל וקטורי הכיוון ונקודות על הישרים המתוארים בבעיה.
2בחירת שיטה
חישוב וקטור הכוכב
בחירת שיטה
חישוב וקטור הכוכב
מה עושים
חשב את ההפרש בין הנקודות: r2 - r1
למה
וקטור זה מייצג את הוקטור המחבר בין נקודות על שני הישרים
הפרש בין וקטורי הנקודות
אל תצמצם את הוקטור! כל ערך חשוב.
3בחירת שיטה
חישוב מכפלת הקרוס
בחירת שיטה
חישוב מכפלת הקרוס
מה עושים
חשב את המכפלה הוקטורית (קרוס) בין v1 ל-v2
למה
נעשה שימוש במכפלה זו בנוסחה למציאת המרחק
v = v1 × v2
נוסחה / הצבה
v = v1 × v2v = v_1 x v_2שמור על סדר הוקטורים במכפלה הקרוס.
4בניית משוואה
חשב מכפלה סקלרית
בניית משוואה
חשב מכפלה סקלרית
מה עושים
חשב את המכפלה הסקלרית בין וקטור הקרוס לוקטור הכוכב
למה
המספר המוחלט של מכפלה זו יכנס כחלק מהנוסחה
d = |(v1 × v2) • (r2 - r1)|
נוסחה / הצבה
d = abs(v • (r2 - r1))d = |v • (r2 - r1)|d=|v * (r_2 - r_1)|5פתרון
חשב גודל וקטור הקרוס
פתרון
חשב גודל וקטור הקרוס
מה עושים
חשב את הערך המוחלט (הנורמה) של וקטור הקרוס
למה
החלק המוריד במכנה בנוסחה למרחק
|v1 × v2|
נוסחה / הצבה
abs(v) = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2)|v| = שורש סכום ריבועי הרכיבים|v| = v_x^2 + v_y^2 + v_z^26תשובה
חשב את המרחק
תשובה
חשב את המרחק
מה עושים
חלק את הערך המוחלט של המכפלה הסקלרית בערך הנורמלי של המכפלה הקרוס
למה
זוהי נוסחת המרחק בין ישרים מצטלבים
d = |(v1 × v2) • (r2 - r1)| / |v1 × v2|
נוסחה / הצבה
d = abs(v • (r2 - r1)) / abs(v)d = d / |v|d = (|v * (r_2 - r_1)|)/(|v|)זכור להשתמש בערכים מוחלטים.
פתרונות כלליים
- חישוב המרחק בין שני ישרים מצטלבים: וקטור הכוכב: r2 - r1 = (3-2, 3-1, 1-0) = (1, 2, 1). מכפלת קרוס: v1 × v2 = (1,2,0) × (0,1,3) = (2*3 - 0*1, 0*0 - 1*3, 1*1 - 2*0) = (6, -3, 1). גודל המהלך: |v1 × v2| = שורש (6^2 + (-3)^2 + 1^2) = שורש (36 + 9 + 1) = שורש 46. מכפלה סקלרית: (v1 × v2) • (r2 - r1) = (6, -3, 1) • (1, 2, 1) = 6*1 + (-3)*2 + 1*1 = 6 - 6 + 1 = 1. המרחק d = |1| / שורש 46 ≈ 0.147. תוצאה: המרחק בין הישרים הוא בערך 0.147 יחידות אורך.