MMATH
התחברות

וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

א1. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ברמת 5 יחידות, כולל חוקים מיוחדים לגזירה, טיפול בנגזרות של פעולות כמו מכפלה, הכרה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, וטעויות נפוצות שכדאי להימנע מהן.
  • להכיר מופעים שונים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
  • לדעת לגזור פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לפי החוקים המתאימים
  • להבין כיצד ליישם את כלל הגזירה על פונקציות מורכבות
  • לזהות ולתקן טעויות נפוצות בגזירת פונקציות אלה
  • להשתמש בדף נוסחאות בצורה יעילה במהלך פתרון תרגילים
  • הכרת הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות: הצגה של הפונקציות המעריכיות ולוגריתמיות וההבדלים בינהן לעומת פונקציות רגילות ופונקציות טריגונומטריות.
  • חוקי הגזירה לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הסבר על החוקים המיוחדים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כולל שמירת מקדמים מספריים ונגזרת פנימית.
  • טיפול בנגזרות של פונקציות מורכבות: יישום הכללים בגזירת פונקציות המכילות כפל ופונקציות עם חזקות ומשוואות מורכבות.
  • טעויות נפוצות ושימוש בדף הנוסחאות: הדגשה של טעויות מאוד נפוצות בגזירת פונקציות אלה והדרכה כיצד להשתמש בדף הנוסחאות בשיעור ובבחינה.

תרגול קצר

גזור את הפונקציה 5 כפול 7 בחזקת x

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = 5 * 7^x.

גזירהפונקציה מעריכיתמקדם מספרי

רמז: השתמש בחוק הגזירה של פונקציה מעריכית וכפל במקדם.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 5 * 7^x * ln(7)

הנגזרת של 7^x היא 7^x ln(7). מכפילים במקדם 5, התוצאה היא 5 * 7^x * ln(7).

גזור את הפונקציה e בחזקת (x בריבוע מינוס 3x)

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = e^(x^2 - 3x).

גזירהפונקציה מעריכיתנגזרת פנימית

רמז: גזור את הפונקציה המעריכית והשתמש בנגזרת הפנימית של הביטוי בחזקת e.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3)

הנגזרת היא e^(x^2 - 3x) כפול נגזרת (x^2 - 3x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3).

גזור את הפונקציה x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x

רמת קושי: מאתגר

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x).

גזירהמכפלהפונקציה מעריכית

רמז: השתמש בכלל מכפלה, גזור כל חלק בנפרד ואל תשכח את הנגזרת של e

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = e^(-x) * (2x - x^2)

נגזרת של x^2 היא 2x. נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת (-x) = -e^(-x). לכן, לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x)(2x - x^2).

גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3

רמת קושי: בגרות

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3.

גזירהפונקציה מעריכיתפונקציה רגילה

רמז: השתמש בחוק הגזירה של פונקציה מעריכית ולגזור פונקציה רגילה בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2

נגזרת של 3^x היא 3^x ln(3). נגזרת של 2x^3 היא 6x^2. לכן: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לגזירת פונקציה מעריכית

כיצד לגזור פונקציה מעריכית מורכבת בקלות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא למצוא את הנגזרת f'(x)

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = x^2 * e^(-x)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בכלל מכפלה לגזירת פונקציה שהיא מכפלה של פונקציה רגילה ופונקציה מעריכית

  4. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  5. משוואה

    הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)

    הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)

  6. פישוט

    gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)

    gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    f'(x) = e^(-x)(2x - x^2)

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הכרת סוגי הפונקציות המעריכיות
    • זיהוי הנגזרת הפנימית בכל פונקציה מורכבת
    • זהירות: שכחת להחיל את כלל המכפלה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

נתונה הפונקציה f(x) = x^2 * e^(-x)

למה

נכיר את הביטוי שעליו נפעיל את הגזירה

הפונקציה היא מכפלה של x בחזקת 2 ופונקציה מעריכית e בחזקת מינוס x

2

בחירת שיטה

השתמש בכלל המכפלה

מה עושים

נשתמש בכלל הגזירה למכפלות f*g

למה

כדי לגזור פונקציה שמורכבת מ-מכפלה של שני פונקציות שונות

נגזרת של f*g היא f' * g + f * g'

נוסחה / הצבה

(f * g)' = f' * g + f * g'

יש לשים לב לכך שכל חלק צריך להיגזר בנפרד

3

בניית משוואה

הגדר את הפונקציות f ו-g

מה עושים

הגדר f(x) = x^2, g(x) = e^(-x)

למה

לרשום כל פונקציה כדי לגזור כל אחת בנפרד

אנו מניחים f = x^2, g = e^(-x)

4

פתרון

גזור את f ו-g

מה עושים

gזן את הנגזרות: f'(x) = 2x g'(x) = e^(-x) * (-1) = -e^(-x)

למה

להשתמש בנוסחאות גזירה של פונקציות רגילות ומעריכיות

נגזרת של x^2 היא 2x; נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת -x שהיא -1

לא לשכוח את הנגזרת הפנימית לפונקציה המעריכית

5

פתרון

הכנס לנוסחה המשולבת

מה עושים

f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x))

למה

לסכם את הנגזרות לפי כלל המכפלה

הכפל והוסף על פי הכלל

שימוש בכלל המכפלה נכון ימנע טעויות

6

תשובה

פשט את הנגזרת

מה עושים

f'(x) = e^(-x)(2x - x^2)

למה

קבלה של ביטוי נגזרת פשוט ונוח לעבודה

משתמשים בחילוץ גורם משותף e^(-x)

עדיף להשאיר בצורה מפושטת

פתרונות כלליים

  • גזור את הפונקציה 5 כפול 7 בחזקת x: הנגזרת של 7^x היא 7^x ln(7). מכפילים במקדם 5, התוצאה היא 5 * 7^x * ln(7).
  • גזור את הפונקציה e בחזקת (x בריבוע מינוס 3x): הנגזרת היא e^(x^2 - 3x) כפול נגזרת (x^2 - 3x) = e^(x^2 - 3x) * (2x - 3).
  • גזור את הפונקציה x בריבוע כפול e בחזקת מינוס x: נגזרת של x^2 היא 2x. נגזרת של e^(-x) היא e^(-x) כפול נגזרת (-x) = -e^(-x). לכן, לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x)(2x - x^2).
  • גזור את הפונקציה f(x) = 3^x + 2x^3: נגזרת של 3^x היא 3^x ln(3). נגזרת של 2x^3 היא 6x^2. לכן: f'(x) = 3^x ln(3) + 6x^2.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.