וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית
א4. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בשיטות לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות והבנת טכניקות שונות לגזירת ביטויים מורכבים.
- להבין ולהבחין בין טכניקות גזירה למעריכיות ולוגריתמיות
- ליישם חוקי גזירה לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- לפתור משימות גזירה ברמת 5 יחידות
- להתמודד עם תרגילים המשלבים חזקות, לוגריתמים וביטויים מעריכיים
- הקדמה לנגזרת מעריכית: הבנת חוקי הגזירה והיישום על פונקציות מעריכיות פשוטות.
- גזירת פונקציות לוגריתמיות: הצגת כלל הגזירה לפונקציות לוגריתמיות והדגמות דוגמאות יישומיות.
תרגול קצר
גזירת פונקציה מעריכית פשוטה
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה y = e^{3x}
רמז: השתמש בכלל השרשרת וגזור את החזקה הפנימית
פתרון מלא
תשובה סופית: 3e^{3x}
נגזרת e^{3x} היא e^{3x} כפול נגזרת 3x שזה 3, כלומר 3e^{3x}
גזירת פונקציה לוגריתמית
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה y = ln(5x+1)
רמז: השתמש בנוסחת נגזרת הלוגריתם הטבעי
פתרון מלא
תשובה סופית: 5 / (5x+1)
נגזרת ln(5x+1) היא 5 / (5x+1) בגלל נגזרת 5x+1 היא 5
גזירת פונקציה מעריכית עם חזקה מורכבת
רמת קושי: מאתגר
גזור את הפונקציה y = (3x^2 +1)^{5}
רמז: השתמש בכלל השרשרת וגזור את הפונקציה הפנימית תחילה
פתרון מלא
תשובה סופית: 30x*(3x^2+1)^{4}
הנגזרת היא 5*(3x^2+1)^{4} כפול נגזרת הפונקציה הפנימית 6x, כלומר 30x*(3x^2+1)^{4}
גזירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית מורכבת
רמת קושי: בגרות
גזור את הפונקציה y = e^{2x} * ln(x)
רמז: השתמש בכלל המכפלה ובכלל השרשרת
פתרון מלא
תשובה סופית: 2 e^{2x} ln(x) + e^{2x} / x
נגזרת היא e^{2x} * ln(x) כפול (2) + e^{2x} * (1/x), כלומר 2 e^{2x} ln(x) + e^{2x}/x
דרך הפתרון
פתרון תרגיל לגזירת פונקציה מעריכית פשוטה
גזירת y = e^{3x}
מפת פתרון
- מטרה
למצוא y' - נגזרת הפונקציה y
- נתון 1
נתון 1
y = e^(3x) - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בכלל השרשרת לגזירת פונקציה מעריכית עם חזקה פנימית
- נוסחה
הנגזרת היא הפונקציה עצמה כפול נגזרת הפונקציה הפנימית
y' = e^(3x) * 3y' = e^(3x) * (3) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נכפיל e^{3x} ב-3
נכפיל e^{3x} ב-3
y' = 3e^(3x) - תוצאה
מסיימים בתשובה
y = e^{3x}
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי הפונקציה המעריכית
- שימוש בכלל השרשרת
- זהירות: שכחת להכפיל בנגזרת החזקה הפנימית
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
y = e^{3x}
למה
עלינו לגזור פונקציה מעריכית עם חזקה.
הפונקציה היא פוקנציה מעריכית בסיס e עם חזקת 3x.
2בחירת שיטה
להשתמש בכלל השרשרת
בחירת שיטה
להשתמש בכלל השרשרת
מה עושים
נגזור את החזקה הפנימית ונכפיל.
למה
נגזרת פונקציה מורכבת היא נגזרת פונקציה חיצונית כפול הנגזרת הפנימית.
נזהה את הפונקציה החיצונית והפנימית ונשתמש בכלל השרשרת.
3בניית משוואה
נגזרת פונקציה מעריכית
בניית משוואה
נגזרת פונקציה מעריכית
מה עושים
הנגזרת היא הפונקציה עצמה כפול נגזרת הפונקציה הפנימית
למה
זהו כלל גזירת מעריכית עם בסיס e.
y' = e^{3x} * (d/dx 3x)
נוסחה / הצבה
y' = e^(3x) * 3y' = e^(3x) * (3)לזכור לגזור את החזקה הפנימית 3x.
4פתרון
פישוט הביטוי
פתרון
פישוט הביטוי
מה עושים
נכפיל e^{3x} ב-3
למה
כפולה בפעולת נגזרת החזקה הפנימית.
y' = 3e^{3x}
נוסחה / הצבה
y' = 3e^(3x)זוהי התוצאה הסופית לאחר גזירה.
פתרונות כלליים
- גזירת פונקציה מעריכית פשוטה: נגזרת e^{3x} היא e^{3x} כפול נגזרת 3x שזה 3, כלומר 3e^{3x}
- גזירת פונקציה לוגריתמית: נגזרת ln(5x+1) היא 5 / (5x+1) בגלל נגזרת 5x+1 היא 5
- גזירת פונקציה מעריכית עם חזקה מורכבת: הנגזרת היא 5*(3x^2+1)^{4} כפול נגזרת הפונקציה הפנימית 6x, כלומר 30x*(3x^2+1)^{4}
- גזירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית מורכבת: נגזרת היא e^{2x} * ln(x) כפול (2) + e^{2x} * (1/x), כלומר 2 e^{2x} ln(x) + e^{2x}/x