וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית
א2. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, תוך דגש על טיפול נכון בנגזרת פונקציות מורכבות בהן מופיעים לוגריתמים טבעיים ופונקציות מעריכיות. נלמד כיצד לגזור ביטויים הכוללים חזקות, לוגריתמים וגם שימוש בגזירת הנגזרת הפנימית והתעתיק.
- ללמוד ליישם את חוקי הנגזרת לפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות
- להבין כיצד לגזור ביטויים עם חזקות ומכפלים המשלבים פונקציות e ולוגריתמים
- ליישם את חוק הגזירה של פונקציות מחולקות
- לנצל את חוק הגזירה לפונקציות לוגריתמיות עם בסיס שונה
- להדגיש את חשיבות השימוש בתעתיק במקום זכירה עיוורת של נוסחאות
- רעיונות בסיסיים לגזירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הסבר על הנגזרת של פונקציות מחולקות, שימוש בתעתיק הנגזרות ולא בזיכרון שבלימוד, הסבר על גזירת e בחזקות מורכבות.
- גזירת לוגריתמים בבסיסים שונים: הסבר אופן הגזירה של פונקציית לוגריתם בכל בסיס, עם דגש על שימוש בלוגריתם טבעי בסיס e בחישובים.
תרגול קצר
גזור פונקציה מעריכית פשוטה
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה f(x) = x^2 / e^(x^2)
רמז: השתמש בכלל המנה וגזור את המונה את e בחזקת פונקציה לפי כלל הגזירה המעריכית.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = 2x(1 - x^2) / e^(x^2)
נגדיר f(x) = u/v עם u = x^2 ו-v = e^(x^2). נגזור u' = 2x ו-v' = e^(x^2) * 2x לפי כלל הנגזרת של e בחזקת פונקציה. לפי כלל המנה: f'(x) = (u'v - uv') / v^2 = (2x * e^(x^2) - x^2 * e^(x^2) * 2x) / (e^(x^2))^2 = e^(x^2) * 2x (1 - x^2) / e^(2x^2) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2).
גזור לוגריתם בבסיס שונה
רמת קושי: בינוני
גזור את הפונקציה g(x) = 5 log_3(x) + 6 log_7(x^2 - 2x)
רמז: השתמש בנוסחת הנגזרת ללוגריתם בבסיס a, ואל תשכח להוסיף את נגזרת הפונקציה הפנימית של הביטוי בתוך הלוגריתם.
פתרון מלא
תשובה סופית: g'(x) = 5 / (x ln 3) + 6 (2x - 2) / ((x^2 - 2x) ln 7)
נגזור כל איבר בנפרד. לנגזרת של log_3(x): g'(x) = 5 * 1 / (x * ln 3). לגבי 6 log_7(x^2 - 2x): דבר ראשון נגזור log_7 פונקציה, לפי הנוסחה 1/(f(x) ln 7) * f'(x). לכן: 6 * [ (2x - 2) / ((x^2 - 2x) * ln 7) ]. אז g'(x) = 5 / (x ln 3) + 6 (2x - 2) / ((x^2 - 2x) ln 7).
גזור פונקציה מחולקת מעריכית ולוגריתמית
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה h(x) = (x^2) / e^(x^2). גזור את h(x).
רמז: השתמש בכלל המנה, וגזור כל אחד מהחלקים בנפרד. זכור ש-e^(f(x)) נגזרת היא e^(f(x)) כפול נגזרת f(x).
פתרון מלא
תשובה סופית: h'(x) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2)
הגדר u = x^2, v = e^(x^2) אז u' = 2x ו-v' = e^(x^2)*2x לפי כלל המנה: h'(x) = (u'v - uv')/v^2 = (2x * e^(x^2) - x^2 * e^(x^2) * 2x) / (e^(x^2))^2 = e^(x^2) * 2x (1 - x^2) / e^(2x^2) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2)
דרך הפתרון
פתרון גזירת הפונקציה: x^2 חלקי e^(x^2)
שימוש בכלל המנה וגזירת פונקציה מעריכית
מפת פתרון
- מטרה
למצוא גזור את f(x)
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x^2 / e^(x^2) - רעיון
הרעיון המרכזי
לחשוב על הפונקציה כמנה וליישם את כלל המנה, לגזור את המונה והמכנה בנפרד תוך יישום כלל הגזירה
- נוסחה
נגזור u' = 2x ו-v' = e^(x^2)*2x לפי כלל הגזירה המעריכית.
u prime equals 2 x, v prime equals e to the x squared times 2 xu' = 2x, v' = e^(x^2)*2xu' = 2x, v' = e^(x^2) x 2x - משוואה
נכתוב את הנגזרת לפי כלל המנה ונוציא גורמים משותפים לפישוט.
נכתוב את הנגזרת לפי כלל המנה ונוציא גורמים משותפים לפישוט.
f prime of x equals open parentheses 2 x times e to the xsquared minus x squared times 2 x times e to the x squaredclose parentheses divided by e to the 2 x squaredf'(x) = (2x e^(x^2) - x^2 2x e^(x^2)) / e^(2x^2)f'(x) = (2x e^(x^2) - x^2 2x e^(x^2))/(e^(2x^2)) - פישוט
נוציא גורם משותף 2x e^{x^2} וניתן ביטוי פשוט יותר: 2x (1 - x^2) /
נוציא גורם משותף 2x e^{x^2} וניתן ביטוי פשוט יותר: 2x (1 - x^2) / e^{x^2}.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
נתונה פונקציה במנה f(x) = u/v עם u = x^2, v = e^(x^2).
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת כלל המנה בגזירת פונקציות מחולקות
- זיהוי ופישוט נגזרות הפונקציות המעריכיות והחזקות
- זהירות: שכחת לגזור נכון את ה-e בחזקת פונקציה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
זיהוי נתונים
הפונקציה הנתונה
מה עושים
נתונה פונקציה במנה f(x) = u/v עם u = x^2, v = e^(x^2).
למה
זיהוי הפונקציה כמנה מאפשר שימוש בכלל גזירת המנה.
נציב את המונה והמכנה להגדרת הנגזרת.
2בחירת שיטה
הפעלת כלל המנה
בחירת שיטה
הפעלת כלל המנה
מה עושים
נגדיר u = x^2, v = e^(x^2), ונשתמש בכלל המנה: f' = (u' v - u v') / v².
למה
כלל זה מאפשר לחשב נגזרת של פונקציה מחולקת בקלות.
נסמן ונכין את הגזירות הבאות.
נוסחה / הצבה
f prime equals open parentheses u prime times v minus u times v prime close parentheses divided by v squaredf' = (u' v - u v') / v²f' = (u'v - uv')/(v^2)רשום את הנגזרות של u ו-v באופן מדויק.
3בניית משוואה
גזור את u ו-v
בניית משוואה
גזור את u ו-v
מה עושים
נגזור u' = 2x ו-v' = e^(x^2)*2x לפי כלל הגזירה המעריכית.
למה
הנגזרת של x בחזקה היא 2x, והנגזרת של e בחזקת f(x) היא e^(f(x)) כפול f'(x).
נוסחה / הצבה
u prime equals 2 x, v prime equals e to the x squared times 2 xu' = 2x, v' = e^(x^2)*2xu' = 2x, v' = e^(x^2) x 2xהבטח שאתה מבין את גזירת פונקציות מעריכיות.
4פתרון
הכנסת הנגזרות למשוואה
פתרון
הכנסת הנגזרות למשוואה
מה עושים
נכתוב את הנגזרת לפי כלל המנה ונוציא גורמים משותפים לפישוט.
למה
פישוט מקל על חישוב נקודות שווה לאפס בבחינה עתידית.
נוסחה / הצבה
f prime of x equals open parentheses 2 x times e to the xsquared minus x squared times 2 x times e to the x squaredclose parentheses divided by e to the 2 x squaredf'(x) = (2x e^(x^2) - x^2 2x e^(x^2)) / e^(2x^2)f'(x) = (2x e^(x^2) - x^2 2x e^(x^2))/(e^(2x^2))הוצאת גורם משותף בפישוט היא מפתח בפתרון.
5פתרון
הוצאת גורם משותף נוספה
פתרון
הוצאת גורם משותף נוספה
מה עושים
נוציא גורם משותף 2x e^{x^2} וניתן ביטוי פשוט יותר: 2x (1 - x^2) / e^{x^2}.
למה
פישוט הביטוי מאפשר ניתוח ונוחות פתרון בבעיות המשך.
נוסחה / הצבה
f prime of x equals 2 x times open parentheses 1 minus x squared close parentheses divided by e to the x squaredf'(x) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2)f'(x) = (2x (1 - x^2))/(e^(x^2))חשוב לשים לב שהמכנה אינו משמש ישירות באפסי הפונקציה.
פתרונות כלליים
- גזור פונקציה מעריכית פשוטה: נגדיר f(x) = u/v עם u = x^2 ו-v = e^(x^2). נגזור u' = 2x ו-v' = e^(x^2) * 2x לפי כלל הנגזרת של e בחזקת פונקציה. לפי כלל המנה: f'(x) = (u'v - uv') / v^2 = (2x * e^(x^2) - x^2 * e^(x^2) * 2x) / (e^(x^2))^2 = e^(x^2) * 2x (1 - x^2) / e^(2x^2) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2).
- גזור לוגריתם בבסיס שונה: נגזור כל איבר בנפרד. לנגזרת של log_3(x): g'(x) = 5 * 1 / (x * ln 3). לגבי 6 log_7(x^2 - 2x): דבר ראשון נגזור log_7 פונקציה, לפי הנוסחה 1/(f(x) ln 7) * f'(x). לכן: 6 * [ (2x - 2) / ((x^2 - 2x) * ln 7) ]. אז g'(x) = 5 / (x ln 3) + 6 (2x - 2) / ((x^2 - 2x) ln 7).
- גזור פונקציה מחולקת מעריכית ולוגריתמית: הגדר u = x^2, v = e^(x^2) אז u' = 2x ו-v' = e^(x^2)*2x לפי כלל המנה: h'(x) = (u'v - uv')/v^2 = (2x * e^(x^2) - x^2 * e^(x^2) * 2x) / (e^(x^2))^2 = e^(x^2) * 2x (1 - x^2) / e^(2x^2) = 2x (1 - x^2) / e^(x^2)