וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית
א3. ניגזרות טכניקה מעריכית לוגריתמית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור דן בטכניקות נגזרת של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, תוך הדגשה על משמעות תחום ההגדרה ופירוט טעויות טיפוסיות.
- לזהות ולהבין את תחום ההגדרה של פונקציות לוגריתמיות ומעריכיות
- ליישם את חוקי הנגזרת בטכניקות מעריכיות ולוגריתמיות
- להבין היכן נפוצות טעויות ולמנוע אותן בהגדרת התחום ובהצבת נעלמים
- הגדרת תחום הפונקציה: הסבר על תחום ההגדרה של פונקציות לוגריתמיות עם דגש על חיוביות התוכן בתוך הלוגריתם והשלכות תחום ההגדרה על הפתרון.
- טעויות נפוצות בתחום ההגדרה: סיכום טעויות שהסטודנטים עושים בהגדרת התחום, כולל אי התחשבות בתנאים של הפונקציה.
- טכניקה נגזרת מעריכית ולוגריתמית: הצגה של טכניקת הנגזרת של מכפלה של מקדם, חזקה, והנגזרת של הפונקציה הפנימית, עם דגש על שימוש בנוסחה הנכונה ושמירת היררכיית חישוב הנגזרת.
תרגול קצר
חשב נגזרת של ln(x)
רמת קושי: קל
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = ln(x).
רמז: השתמש בנוסחה לדו"ח נגזרת לוגריתם: הנגזרת היא 1 חלקי x.
פתרון מלא
תשובה סופית: 1/x
נגזרת של ln(x) היא 1/x.
חשב נגזרת של ln(x^2)
רמת קושי: קל
חשב את הנגזרת של הפונקציה f(x) = ln(x בריבוע).
רמז: זכור ש-ln(x^2) = 2*ln(x), השתמש בנגזרת של ln(x) ואז הכפל ב-2.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2/x
f(x) = ln(x^2) = 2ln(x), לכן f'(x) = 2 * (1/x) = 2/x.
חשב נגזרת של ln(x^2 - 1)
רמת קושי: בינוני
חשב נגזרת של הפונקציה f(x) = ln(x בריבוע מינוס 1).
רמז: השתמש בנגזרת של ln(f(x)) = f'(x)/f(x) וחישב את f'(x).
פתרון מלא
תשובה סופית: 2x/(x^2 - 1)
f'(x) = (2x)/(x^2 - 1).
דרך הפתרון
חישוב נגזרת ln(x² - 1)
סדרת שלבים פשוטים לחישוב הנגזרת
מפת פתרון
- מטרה
למצוא f'(x) - נגזרת הפונקציה
- נתון 1
נתון 1
f(x) = ln(x² - 1) - רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחה לנגזרת של לוגריתם יחד עם כלל השרשרת לפונקציה הפנימית.
- נוסחה
f'(x) = g'(x) / g(x)
f'(x) = g'(x) / g(x)f'(x) = (g'(x))/(g(x)) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
g'(x) = 2x
g'(x) = 2x
g'(x) = 2x - תוצאה
מסיימים בתשובה
f'(x) = 2x / (x² - 1)
f'(x) = 2x / (x^2 - 1)f'(x) = (2x)/(x^2 - 1) - בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי הפונקציה הפנימית והחיצונית
- חישוב הנגזרת של הפונקציה הפנימית
- זהירות: שכחה לקחת את הנגזרת של הפונקציה הפנימית
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הצגת הפונקציה
זיהוי נתונים
הצגת הפונקציה
מה עושים
הפונקציה הנתונה היא ln(x² - 1).
למה
זיהוי הפונקציה כדי לנתח את מבנהה.
2בחירת שיטה
זיהוי פונקציה פנימית וחיצונית
בחירת שיטה
זיהוי פונקציה פנימית וחיצונית
מה עושים
פונקציה פנימית היא g(x) = x² - 1, פונקציה חיצונית היא ln(u).
למה
נדרש להחיל את כלל השרשרת בנגזרת.
3בניית משוואה
כתיבת הנגזרת לפי כלל השרשרת
בניית משוואה
כתיבת הנגזרת לפי כלל השרשרת
מה עושים
f'(x) = g'(x) / g(x)
למה
נגזרת של ln(g(x)) היא g'(x) חלקי g(x).
נוסחה / הצבה
f'(x) = g'(x) / g(x)f'(x) = (g'(x))/(g(x))4פתרון
חשב נגזרת הפונקציה הפנימית
פתרון
חשב נגזרת הפונקציה הפנימית
מה עושים
g'(x) = 2x
למה
נגזרת x² היא 2x, ונגזרת קבוע (-1) היא 0.
נוסחה / הצבה
g'(x) = 2x5פתרון
רשום את הנגזרת הסופית
פתרון
רשום את הנגזרת הסופית
מה עושים
f'(x) = 2x / (x² - 1)
למה
החלפת g'(x) ונוסחאות בנגזרת הכללית.
נוסחה / הצבה
f'(x) = 2x / (x^2 - 1)f'(x) = (2x)/(x^2 - 1)פתרונות כלליים
- חשב נגזרת של ln(x): נגזרת של ln(x) היא 1/x.
- חשב נגזרת של ln(x^2): f(x) = ln(x^2) = 2ln(x), לכן f'(x) = 2 * (1/x) = 2/x.
- חשב נגזרת של ln(x^2 - 1): f'(x) = (2x)/(x^2 - 1).