וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ו1. מרחק בין ישרים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו2. מרחק בין נקודה למישור במרחב שתי שיטות
ו3. מרחק ביו מישורים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו4. נקודות החיתוך של מישור עם הצירים
ו5. מרחק ישר ממישור
ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים
ו7. מרחק בין ישרים מצטלבים
בדיקת מקבילות בין ישר למישור
רמת קושי: קל
נתונים הישר L והמשוואה של המישור Π: \nL: (x,y,z) = (5,7,-1) + t(2,3,2)\nΠ: 2x - 2y - z + 3 = 0\nבדקו האם הישר L מקביל למישור Π.
רמז: הציבו נקודות מהישר במשוואת המישור ובדקו אם מתקבל משפט אמת תמיד או לא.
תשובה סופית: הישר נמצא בתוך המישור, אינו מקביל אליו.
ניקח נקודה כללית על הישר L: (5 + 2t, 7 + 3t, -1 + 2t). \nנציב במשוואת המישור: 2(5+2t) - 2(7+3t) - (-1+2t) + 3 = 0\nנפתח ונפשט: 10 + 4t -14 -6t + 1 - 2t + 3 = 0\nסה"כ: (10 -14 +1 +3) + (4t -6t -2t) = 0\nהאיברים הקבועים: 0, המשתנים ב-t: 0.\nמשפט נכון לכל t - כלומר הישר נמצא בתוך המישור, הוא לא מקביל אלא כלול בו.
חישוב מרחק נקודה ממישור
רמת קושי: בינוני
נתונה נקודה P(5,7,-1) ומישור Π: 2x - 2y - z + 3 = 0. חשבו את המרחק של P מהמישור.
רמז: השתמשו בנוסחת המרחק נקודה ממישור.
תשובה סופית: 0
מרחק = |2*5 - 2*7 - (-1) + 3| / sqrt(2^2 + (-2)^2 + (-1)^2)\n= |10 -14 +1 +3| / sqrt(4 + 4 + 1)\n= |0| / sqrt(9) = 0\nאז המרחק הוא 0 - הנקודה נמצאת במישור.
חישוב מרחק ישר ממישור מקביל
רמת קושי: מאתגר
ישר L מקביל למישור Π. מצאו את המרחק בין הישר למישור. \nL: (x,y,z) = (5,7,-1) + t(2,3,2)\nΠ: 2x - 2y - z + 3 = 0
רמז: בחרו נקודה כלשהי על הישר וחישבו את המרחק שלה מהמישור
תשובה סופית: 0
נבחר את הנקודה ל-t=0: P(5,7,-1)\nנחשב מרחק נקודה P מהמישור Π כפי בתרגיל הקודם, התוצאה היא 0.\nאז הישר נמצא בתוך המישור, מרחקו הוא 0.
מדריך שלב אחר שלב לבדיקת מקבילות ומרחק
מישור Π במשוואה 2x - 2y - z + 3 = 0נבדוק אם כל נקודה על הישר מקיימת את משוואת המישור לקביעת מקבילות.
נציב את נקודת הישר במשוואת המישור
פשט את המשוואה ובדוק אם מתקבלת זהות או שקר
קבע כי הישר נמצא בתוך המישור, ולכן לא מקביל לו או מרוחק ממנו
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כתוב את נקודת ההתחלה של הישר L ווקטור הכיוון שלו
למה
כדי להגדיר נקודה כללית על הישר להמשך בדיקות
נקודת התחלה: (5,7,-1), וקטור כיוון: (2,3,2)
בחירת שיטה
מה עושים
נכנס לנקודה כלשהי על הישר ונבדוק אם היא במישור
למה
כדי לבדוק אם הישר שייך למישור או מקביל לו
נקודה כללית: (5 + 2t, 7 + 3t, -1 + 2t)
בניית משוואה
מה עושים
נציב את נקודת הישר במשוואת המישור
למה
לבדוק האם המשוואה מתקבלת תמיד באמת
2(5+2t) - 2(7+3t) - (-1+2t) + 3 = 0
פתרון
מה עושים
פשט את המשוואה ובדוק אם מתקבלת זהות או שקר
למה
לזהות אם הישר במישור או מקביל
המשוואה מתפשטת ל-0=0, אמת לכל t
תשובה
מה עושים
קבע כי הישר נמצא בתוך המישור, ולכן לא מקביל לו או מרוחק ממנו
למה
כי המשוואה אמת לכל t, כל נקודה על הישר במישור