וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ה6. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב
ה7. מרחק נקודה מישר במרחב בשתי שיטות
ה8. זוויות במרחב בעזרת דוט
ו1. מרחק בין ישרים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו2. מרחק בין נקודה למישור במרחב שתי שיטות
ו3. מרחק ביו מישורים מקבילים במרחב שתי שיטות
ו4. נקודות החיתוך של מישור עם הצירים
ו5. מרחק ישר ממישור
ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים
ו7. מרחק בין ישרים מצטלבים
מציאת מרחק נקודה למישור – גישה ראשונה
רמת קושי: קל
נתונים המישור 2x - 2y + z + 3 = 0 ונקודה A(5,4,7). מצא את המרחק בין הנקודה A למישור בשיטה של מציאת נקודת ההיטל Q על המישור וחישוב המרחק בין A ל-Q.
רמז: השתמש בוקטור הנורמל למישור (2, -2, 1). מצא את הפרמטר T של הישר שעובר דרך A בכיוון הנורמל כשQ על המישור. לאחר מכן חשב את המרחק בין A ל-Q.
תשובה סופית: 4
1. כתוב משוואת הישר: X=5+2T, Y=4-2T, Z=7+T 2. הצב בנוסחת המישור והצא את T: 2*(5+2T)-2*(4-2T)+(7+T)+3=0 3. פשט ומשוך את T: 10+4T - 8 +4T + 7 + T + 3 =0 4. סך הכל: (10 - 8 + 7 + 3) + (4T + 4T + T) = 0 => 12 + 9T = 0 5. פתר את 9T = -12 => T = -4/3 6. חשב את נקודת ההיטל Q: (5 + 2*(-4/3), 4 - 2*(-4/3), 7 + (-4/3)) = (7/3, 20/3, 17/3) 7. חשב מרחק AQ: השורש של [(5-7/3)^2 + (4 - 20/3)^2 + (7 - 17/3)^2] = שורש(16) = 4.
הבנת הבעיה ופתרון באמצעות נקודת ההיטל והמרחק בין נקודות
מישור במשוואה 2x - 2y + z + 3 = 0מצא את נקודת ההיטל Q של A על המישור בעזרת ישר הכיוון של וקטור הנורמל, ואז חשב את המרחק בין A
2 times (5 plus 2T) minus 2 times (4 minus 2T) plus (7 plus T) plus 3 equals 02(5+2T) - 2(4-2T) + (7+T) + 3 = 0קבל את משוואת המישור ואת הנקודה הנתונה
חשב את ערך T ואז חשב את נקודת ההיטל Q
חשב את המרחק בין הנקודה הנתונה לנקודת ההיטל
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
קבל את משוואת המישור ואת הנקודה הנתונה
למה
אסור להתחיל בלי להבין את הנתונים
המישור נתון במשוואה ווקטור הנורמל שלו הוא (2, -2, 1).
בחירת שיטה
מה עושים
הגדר ישר היוצא מהנקודה A בכיוון וקטור הנורמל
למה
כי המרחק הוא לאורך קו מאונך למישור
ישר שקואורדינטותיו הן (5 + 2T, 4 - 2T, 7 + T)
וקטור הנורמל למישור הוא כיוון הישר AQ
בניית משוואה
מה עושים
הציב את הנקודה הכללית של הישר במשוואת המישור כדי למצוא את T
למה
כי Q נמצאת על המישור בלבד
נציב 2(5+2T) - 2(4-2T) + (7+T) + 3 = 0 ונפתור עבור T
נוסחה / הצבה
2 times (5 plus 2T) minus 2 times (4 minus 2T) plus (7 plus T) plus 3 equals 02(5+2T) - 2(4-2T) + (7+T) + 3 = 0פתור עבור T בזהירות כדי למצוא את נקודת ההיטל
פתרון
מה עושים
חשב את ערך T ואז חשב את נקודת ההיטל Q
למה
כדי למצוא את נקודת ההיטל ולחשב מרחק
T = -4/3 Q = (7/3, 20/3, 17/3)
פתרון
מה עושים
חשב את המרחק בין הנקודה הנתונה לנקודת ההיטל
למה
המרחק בין הנקודה למישור הוא אורך הקטע AQ
המרחק AQ שווה לשורש של סכום ריבועי ההפרשים בין הקואורדינטות
נוסחה / הצבה
D equals square root of (5 minus 7 thirds) squared plus (4minus 20 thirds) squared plus (7 minus 17 thirds) squaredD = sqrt((5 - 7/3)^2 + (4 - 20/3)^2 + (7 - 17/3)^2)D = (5 - (7)/(3))^2 + (4 - (20)/(3))^2 + (7 - (17)/(3))^2חשב כל הפרש בריבוע בזהירות