מצא את ערך הפרמטר T
רמת קושי: קל
בהינתן הישר L שמוגדר על ידי נקודה P=(1,-1,3) ווקטור כיוון v=(2,1,1), ונקודה A=(2,3,4), מצא את ערך ה-T כך שהנקודה Q=P+T*v היא ההטלה האנכית של A על הישר.
וקטוריםאורתוגונליותמרחק מישר
רמז: רשום את הווקטור AQ וכתוב את התנאי שהוקטור AQ מאונך לוקטור הכיוון v.
פתרון מלא
תשובה סופית: T = 7/6
רשום את Q = (1+2T, -1+T, 3+T). וקטור AQ = Q - A = (1+2T-2, -1+T-3, 3+T-4) = (2T-1, T-4, T-1). תנאי אורתוגונליות הוא (AQ) ⋅ v = 0: (2T-1)*2 + (T-4)*1 + (T-1)*1 = 0 → 4T - 2 + T - 4 + T - 1 = 0 → 6T -7 = 0 → T = 7/6.
חשב את מרחק הנקודה A מהישר L
רמת קושי: בינוני
בהינתן את ערך ה-T מהתרגיל הקודם, חשב את מרחק הנקודה A לישר L באמצעות גודל וקטור EQ, כאשר Q=P+T*v.
וקטוריםמרחקחישוב גודל וקטור
רמז: חשוב לחשב את וקטור EQ = Q - A ואז את אורכו.
פתרון מלא
תשובה סופית: 3.13
Q = (1 + 2*(7/6), -1 + 7/6, 3 + 7/6) = (20/6, -1 + 7/6, 3 + 7/6) = (10/3, -6/6 + 7/6, 18/6 + 7/6) = (10/3, 1/6, 25/6). וקטור EQ = Q - A = (10/3 - 2, 1/6 - 3, 25/6 - 4) = (8/6, -17/6, 1/6). אורכו: sqrt((8/6)^2 + (-17/6)^2 + (1/6)^2) = sqrt(64/36 + 289/36 + 1/36) = sqrt(354/36) = sqrt(59/6) ≈ 3.13.
חשב את המרחק באמצעות מכפלה וקטורית
רמת קושי: מאתגר
חשב את מרחק הנקודה A מהישר L באמצעות מכפלה וקטורית של וקטור כוכב u = A - P ווקטור הכיוון v, והראה שההוצאה זהה לתוצאה מהתרגיל הקודם.
וקטוריםמכפלה וקטוריתמרחק מישר
רמז: נוסחה: המרחק d = ||u × v|| / ||v||.
פתרון מלא
תשובה סופית: 3.13
וקטור u = A - P = (2-1, 3-(-1), 4-3) = (1,4,1). וקטור v = (2,1,1). חישוב מכפלת וקטורית: u × v = (4*1 - 1*1, 1*2 - 1*1, 1*1 - 4*2) = (4 -1, 2 -1, 1 -8) = (3,1,-7). ||u × v|| = sqrt(9 + 1 + 49) = sqrt(59). ||v|| = sqrt(4+1+1) = sqrt(6). המרחק d = sqrt(59)/sqrt(6) = sqrt(59/6) ≈ 3.13, כפי שחשבנו קודם.
מבחן - חישוב מרחק נקודה מישר
רמת קושי: בגרות
במישור התלת-ממדי נתון הישר L עובר דרך הנקודה P=(1,-1,3) ווקטור הכיוון v=(2,1,1). נתונה גם הנקודה A=(2,3,4). מצא את המרחק מהנקודה A לישר L באמצעות חישוב ערך ה-T של הנקודה Q על הישר כך שהקשר (Q - A) מאונך לוקטור הכיוון, ולאחר מכן חשב את המרחק בין A ל-Q.
בגרותוקטוריםמרחק מישר
רמז: 1. השתמש בתנאי האורתוגונליות כדי למצוא T.
2. הצב את T כדי לקבל את Q.
3. חשב את המרחק בין A ל-Q.
פתרון מלא
תשובה סופית: 3.13
כפי שבתרגילים הקודמים, מצאנו T=7/6. הצבנו ל-Q וקיבלנו Q=(10/3,1/6,25/6). מצאנו תחילה וקטור EQ=Q-A=(8/6,-17/6,1/6). המרחק הוא גודל וקטור זה: sqrt( (8/6)^2 + (-17/6)^2 + (1/6)^2 ) = sqrt(59/6) ≈ 3.13.