וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים
ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מסביר את מושג המרחק בין שני ישרים מצטלבים במרחב, כיצד למצוא נקודות מיוחדות ביניהם, ואיך להמיר את חישוב המרחק במרחב למרחק בין נקודה למישור כדי לפשט את החישוב.
- להבין את ההגדרה של ישרים מצטלבים.
- לזהות את הנקודות שעל המרחק בין שני ישרים מצטלבים.
- להבין מתי ישרים מצטלבים, מקבילים או חותכים.
- ליצור משוואת מישור המקביל לאחד הישרים ומכיל את השני.
- לחישוב המרחק בין ישרים מצטלבים באמצעות המרחק מנקודה למישור.
- הגדרה ומיקום הישרים: נלמד על שני ישרים מצטלבים, נקודות חשובים עליהם והדרך לחשב את המרחק ביניהם.
- מישור המכיל וישרים מקבילים: נלמד על יצירת מישור מכיל לישר אחד ומקביל לישר שני בכדי לפשט את חישוב המרחק בין הישרים.
- חישוב המרחק: נציג דוגמה מספרית לחישוב המרחק בין ישרים מצטלבים באמצעות יצירת משוואת המישור והפרדת המרחק בין נקודה למישור.
תרגול קצר
בדיקת חיתוך ישרים
רמת קושי: קל
נתונים שני ישרים במרחב: L1: x=1-t, y=2+t, z=3+2t; L2: x=-1+k, y=1-k, z=-2+3k. האם הישרים הללו מצטלבים, מקבילים, או נחתכים? הסבר בקצרה.
רמז: בדוק אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים; במידה ולא, בדוק אם יש פתרון למערכת המשוואות המתאימה לחיתוך.
פתרון מלא
תשובה סופית: הישרים מצטלבים.
וקטור הכיוון של L1 הוא (-1,1,2) ווקטור הכיוון של L2 הוא (1,-1,3). הם אינם פרופורציונליים, לכן הישרים אינם מקבילים. במערכת המשוואות חסר פתרון, לכן הישרים מצטלבים.
מציאת משוואת מישור המקביל לישר
רמת קושי: בינוני
נתון הישר L1 במרחב: x=1-t, y=2+t, z=3+2t. מצא משוואת מישור המכיל את L1 ומקביל לוקטור הכיוון של ישר L2 הניתן על ידי (1,-1,3).
רמז: וקטור נורמלי למישור יהיה אורתוגונלי לוקטורי הכיוון של שני הישרים.
פתרון מלא
תשובה סופית: x + y - 3 = 0
וקטור הכיוון של L1 הוא (-1,1,2) ווקטור הכיוון של L2 הוא (1,-1,3). נדרוש וקטור נורמלי N ש- N נ3 V1=0 ו-N נ3 V2=0. הפתרון הוא N=(1,1,0). משוואת המישור היא x+y+D=0. להציב נקודה על L1 (1,2,3) ולחשב D: 1+2+D=0 מביא D=-3. משוואת המישור היא x + y - 3 = 0.
חישוב המרחק בין ישרים מצטלבים
רמת קושי: מאתגר
חישב את המרחק בין שני הישרים L1 ו-L2 הנתונים: L1: x=1-t, y=2+t, z=3+2t ו-L2: x=-1+k, y=1-k, z=-2+3k, באמצעות יצירת מישור המכיל את L1 ומקביל ל-L2.
רמז: מצא משוואת מישור המכיל את L1 ומקביל לכיוון של L2, מצא נקודה על L2, והשתמש בנוסחה לחישוב המרחק מנקודה למישור.
פתרון מלא
תשובה סופית: המרחק בין הישרים הוא (3√2)/2.
וקטור נורמלי למישור הוא N=(1,1,0). משוואת המישור: x + y - 3 = 0. בחר נקודה M על L2 למשל (-1,1,-2). חשב את המרחק: distance= |(-1)+1-3| / sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = | -3 | / sqrt(2) = 3/√2 = (3√2)/2.
מרחק בין ישרים מצטלבים - שאלת בגרות
רמת קושי: בגרות
במרחב נתונים שני ישרים L1 ו-L2 בצורה פרמטרית, כשוקטורי הכיוון אינם פרופורציונליים ואין נקודת חיתוך ביניהם. הראה כיצד לחשב את המרחק בין הישרים באמצעות יצירת מישור המכיל את L1 ומקביל לכיוון של L2, ומציאת המרחק מנקודה במישור לישר השני.
רמז: השתמש במשוואת המישור ווקטור נורמלי המחושב מוקטורי הכיוון, ולאחר מכן בחישוב המרחק מנקודה למישור.
פתרון מלא
תשובה סופית: המרחק בין הישרים הוא שווה למרחק בין נקודת L2 למישור המכיל את L1 ומקביל ל-L2.
בעקבות ההוראות נרכיב מישור עם וקטור נורמלי האורתוגונלי לשני וקטורי הכיוון. ערכנו את משוואת המישור, בחרנו נקודת קצה על L2 ומדדנו את המרחק למישור באמצעות הנוסחה המתאימה. כך נמצא המרחק בין הישרים המצטלבים.
דרך הפתרון
כיצד לחשב מרחק בין ישרים מצטלבים
המרחק בין ישרים במרחב באמצעות מישור מקביל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את המרחק המינימלי בין הישרים.
- נתון 1
ישרים L1 ו-L2 במרחב בצורה פרמטרית.
- נתון 2
וקטורי הכיוון של שני הישרים.
- נתון 3
נקודה אחת על כל ישר.
- רעיון
הרעיון המרכזי
המירו את הבעיה למרחק בין נקודה למישור על ידי יצירת מישור המכיל את L1 ומקביל ל-L2, ואז חשבו את
- נוסחה
בחר נקודה על L2 וחישב את המרחק למישור באמצעות הנוסחה
abs(1*(-1)+ 1*1+ 0*(-2)- 3) / sqrt(1*1+ 0*0) - משוואה
מצא וקטור נורמלי למישור ע"י חישוב מכפלת וקטורים אורתוגונליים
מצא וקטור נורמלי למישור ע"י חישוב מכפלת וקטורים אורתוגונליים
x + y - 3 = 0 - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הישרים
זיהוי נתונים
הגדרת הישרים
מה עושים
קבל את תיאור הישרים L1 ו-L2 בצורה פרמטרית
למה
הגדרת המשתנים והוקטורים הרלוונטיים לעבודה
נכתבים וקטורי הכיוון ונקודות בסיס לישרים
2בחירת שיטה
הכנת התוכנית
בחירת שיטה
הכנת התוכנית
מה עושים
השתמש במישור המכיל L1 ומקביל לכיוון L2 להמרת הבעיה
למה
פישוט חישוב המרחק בין ישרים למרחק בין נקודה למישור
המרת הבעיה לקלה יותר מבלי למצוא נקודות מרחק ישירות
3בניית משוואה
מציאת משוואת המישור
בניית משוואה
מציאת משוואת המישור
מה עושים
מצא וקטור נורמלי למישור ע"י חישוב מכפלת וקטורים אורתוגונליים
למה
וקטור נורמלי משמש בכתיבת משוואת המישור
וקטור נורמלי הוא (1,1,0) ונוסחת המישור היא x + y - 3 = 0
נוסחה / הצבה
x + y - 3 = 0הציב נקודה מתוך L1 כדי למצא D במישור
4פתרון
חישוב המרחק מנקודה למישור
פתרון
חישוב המרחק מנקודה למישור
מה עושים
בחר נקודה על L2 וחישב את המרחק למישור באמצעות הנוסחה
למה
שיטה פשוטה לחישוב המרחק בין הישרים בעזרת מישור
הנקודה (-1,1,-2) על L2, המרחק הוא 3 חלקי שורש 2
נוסחה / הצבה
abs(1*(-1)+ 1*1+ 0*(-2)- 3) / sqrt(1*1+ 0*0)השתמש בסימני הערך המוחלט ובשורש נכון חישוב ארגומנטים
5תשובה
תוצאה סופית
תשובה
תוצאה סופית
מה עושים
קבל את המרחק בין הישרים
למה
פתרון הבעיה המבוקשת
המרחק ביניהם הוא 3 חלקי שורש 2
פתרונות כלליים
- בדיקת חיתוך ישרים: וקטור הכיוון של L1 הוא (-1,1,2) ווקטור הכיוון של L2 הוא (1,-1,3). הם אינם פרופורציונליים, לכן הישרים אינם מקבילים. במערכת המשוואות חסר פתרון, לכן הישרים מצטלבים.
- מציאת משוואת מישור המקביל לישר: וקטור הכיוון של L1 הוא (-1,1,2) ווקטור הכיוון של L2 הוא (1,-1,3). נדרוש וקטור נורמלי N ש- N נ3 V1=0 ו-N נ3 V2=0. הפתרון הוא N=(1,1,0). משוואת המישור היא x+y+D=0. להציב נקודה על L1 (1,2,3) ולחשב D: 1+2+D=0 מביא D=-3. משוואת המישור היא x + y - 3 = 0.
- חישוב המרחק בין ישרים מצטלבים: וקטור נורמלי למישור הוא N=(1,1,0). משוואת המישור: x + y - 3 = 0. בחר נקודה M על L2 למשל (-1,1,-2). חשב את המרחק: distance= |(-1)+1-3| / sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = | -3 | / sqrt(2) = 3/√2 = (3√2)/2.
- מרחק בין ישרים מצטלבים - שאלת בגרות: בעקבות ההוראות נרכיב מישור עם וקטור נורמלי האורתוגונלי לשני וקטורי הכיוון. ערכנו את משוואת המישור, בחרנו נקודת קצה על L2 ומדדנו את המרחק למישור באמצעות הנוסחה המתאימה. כך נמצא המרחק בין הישרים המצטלבים.