כתיבת משוואת ישר פרמטרית
רמת קושי: קל
נתונות נקודות A(1,2,3) ו-B(-1,3,5). כתבו את משוואת הישר העוברת דרך A ו-B בפרמטר t.
ישר פרמטריוקטוריםתכנון ישר
רמז: חשב את וקטור הכיוון v על ידי חיסור B - A. השתמש במשוואה כללית r = A + t * v.
פתרון מלא
תשובה סופית: r = (1 - 2t, 2 + t, 3 + 2t)
וקטור הכיוון הוא v = (-1 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-2, 1, 2). משוואת הישר היא: r = (1, 2, 3) + t * (-2, 1, 2). כלומר, כל נקודה על הישר היא (1 - 2t, 2 + t, 3 + 2t).
זיהוי מצב הדדי בין ישרים
רמת קושי: בינוני
נתונים ישרים במרחב עם וקטורי כיוון v1=(1,2,3) ו-v2=(2,4,6). האם הישרים מקבילים? פרטו למה.
וקטוריםישרים מקביליםפרופורציונליות
רמז: אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים, הישרים מקבילים. בדקו יחס בין רכיבי הווקטורים.
פתרון מלא
תשובה סופית: כן, הישרים מקבילים כי וקטורי הכיוון פרופורציונליים
וקטור v2 = 2 * v1, כלומר הם פרופורציונליים ולכן הישרים מקבילים.
קביעת אם שני ישרים במרחב מצטלבים
רמת קושי: מאתגר
יש שני ישרים הנתונים במשוואות הפרמטריות:
לישר 1: r = (1,0,0) + t*(1,1,0)
לישר 2: r = (0,1,1) + s*(0,1,1)
קבעו האם הישרים מצטלבים, נחתכים או מקבילים.
ישרים במרחבמצבים הדדייםמערכות משוואות
רמז: בדקו אם יש פתרון למערכת המשוואות להניח r1 = r2 עבור ערכי t ו-s כלשהם. בדקו אם וקטורי הכיוון פרופורציונליים.
פתרון מלא
תשובה סופית: הישרים מצטלבים כי אינם מקבילים ואינם נחתכים
וקטורי הכיוון אינם פרופורציונליים (1,1,0) ו-(0,1,1).
מערכת המשוואות היא:
1 + t = 0
0 + t = 1 + s
0 = 1 + s
לא קיים פתרון ממשי משותף, לכן הישרים אינם נחתכים.
מכיוון שאינם מקבילים והם לא חותכים, הם מצטלבים.
הבחנה בין מצבי ישרים במרחב
רמת קושי: בגרות
הסבירו מהם המצבים האפשריים בין שני ישרים במרחב וכיצד מזהים כל מצב באמצעות וקטורי הכיוון והנקודות המשותפות.
ישרים במרחבהבחנה בין מצביםוקטורים
רמז: יש ארבעה מצבים: מקבילים, נחתכים, מצטלבים, ואותו ישר. בדקו פרופורציונליות של וקטורי הכיוון ומספר נקודות משותפות.
פתרון מלא
תשובה סופית: ארבעת המצבים ניתנים לזיהוי לפי פרופורציונליות וקטורי הכיוון ומספר נקודות חיתוך
ישרים מקבילים: וקטורי הכיוון פרופורציונליים ואין נקודות משותפות.
ישרים נחתכים: וקטורי הכיוון לא פרופורציונליים ויש נקודת חיתוך אחת משותפת.
ישרים מצטלבים: וקטורי הכיוון לא פרופורציונליים ואין נקודות משותפות.
אותו ישר: וקטורי הכיוון פרופורציונליים ויש אין-סוף נקודות משותפות.