MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
9 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב6. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

וידאו

ג2. וקטור אלגברי המישורים הראשיים והישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג5. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג6. חלוקת הקטע בדרך נוספת בעזרת משפט תאלס

וידאו

ד1. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד2. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד3. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד4. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד5. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד6. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד7. משוואת מישור במרחב

סיכום שיעור

  • בשיעור נדונו שיטות הבעה ופעולה עם וקטורים גיאומטריים לצורך חישוב פרופורציות בין קטעים במשולש. הוסבר כיצד להגדיר נעלם יחסי (T) לקטע חלקי השלם, כיצד לכתוב וקטורים כלפי נקודות ביניים, וכיצד להשתמש בפרופורציה למיצוי משוואות ולפתירתן.
  • ללמוד להגדיר משתנה פרופורציוני להצגת יחסים בין קטעים במשולש.
  • להבין כיצד לייצג וקטורים כפונקציה של וקטורים אחרים במשולש.
  • ליישם חישובים אלגבריים להצגת וקטורים ולהוכיח פרופורציות בין קטעים.
  • להכיר ולהשתמש בתכונת התיכונה במישור גיאומטרי בגישה וקטורית.
  • הגדרת וקטורים ועבודה עם פרופורציות: הבהרה לגבי הסימון הוקטורי של נקודות במשולש והמחשת ציון פרופורציות בין קטעים על ידי משתנה T, המייצג חלק יחסי של קטע שלם.
  • הרכבת וקטורים והוכחת פרופורציות: שימוש באלגברה וקטורית להרכבת וקטורים הקשורים לנקודות ביניים במשולש, תוך דרישה לשימור פרופורציות בין רכיבי הוקטורים בעת היותם מתלכדים על ישר.

תרגול קצר

חישוב פרופורציה בין קטעים במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש שבו נקודה P מחלקת את הקטע AD לפרופורציה T:(1-T). הבע את הוקטור AP כפונקציה של AD והסבר את המשמעות הגיאומטרית.

וקטוריםפרופורציהבסיס

רמז: כתוב את AP בתור T חלק מהוקטור AD כדי להגדיר את היחס.

פתרון מלא

תשובה סופית: AP = T * AD

AP שווה ל-T כפול AD, כלומר AP = T * AD, ומשמעות הדבר היא שנקודה P נמצאת ב-T מהדרך מ-A ל-D.

הוכחת פרופורציה בוקטורים מתלכדים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן וקטורים BP ו-BE המתלכדים על אותו ישר, כאשר BP הוא כ-PT בחלק יחסי של BE, והפרופורציות בין רכיבי V ו-U של הוקטורים מגדירות משוואה לפרופורציה T. הוסף והצג את המשוואה שמאפשרת למצוא T והסבר.

וקטוריםמשוואותפרופורציהמתלכדים

רמז: השתמש בכך שהמקדם של V ביחס ל-V שווה למקדם של U ביחס ל-U באותו כיוון.

פתרון מלא

תשובה סופית: -T = 1/2 T - 1; T = 2/3

משווים קואפנ. של רכיבי V ו-U: (חצי T מינוס אחד)/(-1) = (חצי T)/חצי; מהמשוואה נגזר פתרון T=2/3.

הוכחת תכונת התיכון באמצעות וקטורים ופרופורציות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון משולש שבו נקודה B מחלקת קטעים BD ו-BE בפרופורציות T ו-(1-T). הראה כי BD הוא שליש מוקטור V וחשב את הוקטורים המחודשים.

וקטוריםתיכוןפרופורציהאלגברה גיאומטרית

רמז: הצב את הערך שחושב ל-T במשוואות הרכבת הוקטורים ובדוק את הפרופורציה ביניהם.

פתרון מלא

תשובה סופית: BD = -2/3 V; הפרופורציה נשמרת בין BD ל-BE

הצבת T=2/3 במשוואת BD מוכיחה BD = -2/3 V; לכן BD הוא שני שליש מהוקטור המקורי והיחס נבדק ומתאים לתכונת התיכון.

שאלה בסגנון בגרות: מציאת פרופורציה בין וקטורים

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC ניתנים וקטורים V ו-U המייצגים את הקטעים AD ו-BC בהתאמה. הנקודה P מחלקת את AD כך ש-AP = T * AD. בתנאי שהוקטורים BP ו-BE מתלכדים, מצא את ערך T וחשב את BD במקרה זה.

בגרותוקטוריםפרופורציותמשולש

רמז: השתמש בתנאי הפרופורציה בין רכיבי V ו-U ובמשוואה בין מקדמים.

פתרון מלא

תשובה סופית: T = 2/3; BD = -2/3 V

משוואת הפרופורציה נותנת T=2/3. הצבה במשוואת BD נותנת BD = -2/3 V, כלומר BD שני שליש מוקטור V.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב פרופורציה T בוקטורים משולש

שימוש בפרופורציה בין וקטורים מתלכדים למציאת T

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מצא את ערך הפרופורציה T בין AP ל-AD / חשב את הוקטור BD במונחים של V לאחר מציאת T

  2. נתון 1

    וקטור AP הוא T חלק מהוקטור AD

  3. נתון 2

    וקטורים BP ו-BE מתלכדים באותו ישר

  4. נתון 3

    ביטויים רכיביים של V ו-U בפרופורציות שונות של שני וקטורים

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בתנאי פרופורציה בין רכיבי הווקטורים המתלכדים כדי לבנות משוואה ליניארית ב-T ולפתור את ערכה.

  6. נוסחה

    הגדר שהוקטור AP הוא T כפול וקטור AD

    AP = T* ADAP = T * AD
  7. משוואה

    שווה את שני המכפלות ופתור עבור T

    שווה את שני המכפלות ופתור עבור T

    -T = 0.5*T - 1-T = 0.5 T - 1
  8. פישוט

    ערוך שוויון ונבודד את T

    ערוך שוויון ונבודד את T

    1.5*T = 11.5 T = 1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפרופורציה בין AP ל-AD

מה עושים

הגדר שהוקטור AP הוא T כפול וקטור AD

למה

כך מייצגים פרופורציה של חלק ביחס לשלמות הקטע

AP = T * AD

נוסחה / הצבה

AP = T* ADAP = T * AD

השתמש ב-T כאחוז או חלק יחסי מהקטע השלם

2

בחירת שיטה

תנאי מתלכדות לוקטורים BP ו-BE

מה עושים

הנחה שהוקטורים ברכיבים V ו-U פרופורציונליים

למה

וקטורים מתלכדים חייבים להיות פרופורציונליים ברכיביהם

מקדם V חלקי מקדם V שווה למקדם U חלקי מקדם U

נוסחה / הצבה

(0.5 * T - 1) / (-1) = (0.5 * T) / 0.5(חצי T מינוס אחד)/(-1) = (חצי T)/חצי

אם הקשרים ברורים, מלל את התנאי באופן אלגברי פשוט

3

בניית משוואה

הרכבת המשוואה לפרופורציה T

מה עושים

שווה את שני המכפלות ופתור עבור T

למה

מציאת הפרופורציה המדויקת בין הקטעים

-T = 1/2 T - 1

נוסחה / הצבה

-T = 0.5*T - 1-T = 0.5 T - 1

שלב את האיברים לאגף אחד לפתרון פשוט

4

פתרון

פתור את המשוואה לערך T

מה עושים

ערוך שוויון ונבודד את T

למה

כדי לקבל את ערך הפרופורציה המדויק

1.5 T = 1 ו-T = 2/3

נוסחה / הצבה

1.5*T = 11.5 T = 1

חלק לפי הצורך כדי לקבל T

5

בדיקה

הצבת T ומשוואת BD

מה עושים

הכנס T למשוואת BD וחישוב וקטור BD

למה

לאמת שהיחס נשמר וכי הפתרון תקין

BD = חצי כפול 2/3 מינוס 1 וי

נוסחה / הצבה

BD = 0.5*2/3 - 1BD = 0.5 * 2/3 - 1

בצע חישובים כדי לוודא עקביות

6

תשובה

מסקנות וחישובי היחסים

מה עושים

קבלת T כ-2/3 והפרופורציה של BD ביחס לוקטור V

למה

משמעות גיאומטרית של הפרופורציה

T = 2/3; BD = -2/3 V וודא ש-BB הוא שני שליש מה-BE

זכור שמינוס מצביע על כיוון הפוך

פתרונות כלליים

  • חישוב פרופורציה בין קטעים במשולש: AP שווה ל-T כפול AD, כלומר AP = T * AD, ומשמעות הדבר היא שנקודה P נמצאת ב-T מהדרך מ-A ל-D.
  • הוכחת פרופורציה בוקטורים מתלכדים: משווים קואפנ. של רכיבי V ו-U: (חצי T מינוס אחד)/(-1) = (חצי T)/חצי; מהמשוואה נגזר פתרון T=2/3.
  • הוכחת תכונת התיכון באמצעות וקטורים ופרופורציות: הצבת T=2/3 במשוואת BD מוכיחה BD = -2/3 V; לכן BD הוא שני שליש מהוקטור המקורי והיחס נבדק ומתאים לתכונת התיכון.
  • שאלה בסגנון בגרות: מציאת פרופורציה בין וקטורים: משוואת הפרופורציה נותנת T=2/3. הצבה במשוואת BD נותנת BD = -2/3 V, כלומר BD שני שליש מוקטור V.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.