הסבר על הגדרת ישר פרמטרי במרחב על ידי שתי נקודות, יצירת וקטור ככיוון הישר, כתיבת נקודה כללית על הישר ופתרון נקודות החיתוך עם מישורים ראשיים.
למד את המושג ישר פרמטרי במרחב
ליצור וקטור ככיוון הישר על ידי חיסור בין נקודות
לכתוב משוואה פרמטרית של הישר
למצוא נקודות חיתוך של הישר עם המישורים הראשיים
לזהות מצבים בהם נקודות אינן שייכות לישר
יצירת וקטור ככיוון ישר: מקבלים שתי נקודות במרחב ומוצאים את הוקטור על ידי חיסור בין הקואורדינטות.
כתיבת נקודה כללית על הישר: עושים שימוש בנקודה אחת ווקטור הכיוון כדי לכתוב את הנקודה הכללית כמשוואה פרמטרית.
מציאת נקודות חיתוך עם מישורים: כדי למצוא נקודת חיתוך עם מישור מסוים מאתרים את ערך t המתאים ואז מחשבים נקודה על הישר.
בדיקת שייכות נקודה לישר: בודקים האם נקודה בעלת קואורדינטות נתונות נמצאת על הישר באמצעות פתרון משוואות ל-t ובדיקת התאמה.

תרגול קצר

כתיבת משוואה פרמטרית של ישר מ2 נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות שתי נקודות במרחב A(1,-1,3) ו-B(3,-4,4). כתוב את משוואת הישר הפרמטרית שעובר דרך נקודה A ובכיוון וקטור מ-B ל-A.

ישר פרמטריוקטוריםמרחב

רמז: חשב את הוקטור על ידי חיסור בין B ל-A ואז כתוב משוואה parametric עם נקודה A והוקטור.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1+2t, -1-3t, 3+t)

וקטור הכיוון הוא B - A = (3-1, -4-(-1), 4-3) = (2, -3, 1). משוואת הישר היא P = (1, -1, 3) + t(2, -3, 1). נקודה כללית היא (1+2t, -1-3t, 3+t).

מציאת נקודת חיתוך עם מישור y=0

רמת קושי: בינוני

ממתין

ישר במרחב נתון על ידי הנקודה הכללית (1+2t, -1-3t, 3+t). מצא את נקודת החיתוך של הישר עם המישור y=0.

חיתוך מישוריםישר פרמטריוקטורים

רמז: נציב את y= -1-3t = 0 ונחשב את t.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/3, 0, 8/3)

-1 - 3t = 0 => 3t = -1 => t = -1/3. עבור t זה, נקודת החיתוך היא (1+2*(-1/3), 0, 3+(-1/3)) = (1 - 2/3, 0, 3 - 1/3) = (1/3, 0, 8/3).

בדיקת שייכות נקודה לישר פרמטרי

רמת קושי: מאתגר

ממתין

האם הנקודה Q(1, -1, 3) שייכת לישר המוגדר על ידי הנקודה הכללית (1+2t, -1-3t, 3+t)? הסבר.

בדיקת שייכותישר פרמטרי

רמז: חבר את קואורדינטות הנקודה למשוואות, חשב את t מכל ערך ובדוק אם כולם שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: כן, הנקודה שייכת לישר (t=0)

x=1+2t=1 => 2t=0 => t=0. y=-1-3t = -1 => -3t=0 => t=0. z=3+t=3 => t=0. כל ערכי t שווים => נקודה שייכת לישר.

השאלה: נקודת חיתוך הישר עם מישור

רמת קושי: בגרות

ממתין

הישר נתון על ידי הנקודה הכללית (1 + 2t, -1 - 3t, 3 + t). מצא את נקודת החיתוך שלו עם מישור xz (כלומר y=0).

בגרותישר פרמטריחיתוך מישורים

רמז: קבע y=0 ומצא את t המתאים, לאחר מכן חשב את ערכי x וz.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/3, 0, 8/3)

y = -1 - 3t = 0 => t = -1/3. לכן x = 1 + 2(-1/3) = 1 - 2/3 = 1/3; z = 3 + (-1/3) = 8/3. נקודת החיתוך היא (1/3, 0, 8/3).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: מציאת נקודת חיתוך הישר עם מישור XY

חישוב נקודת החיתוך בין ישר למישור שבו z=0

8 תחנות6 שלבי פירוט2 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך t עבורו z=0 / נקודת החיתוך במרחב
נתון 1
נוסחת הישר: (1+2t, -1-3t, 3+t)
נתון 2
נתון 2
רוצים למצוא נקודת חיתוך עם מישור המוגדר על ידי z=0
רעיון
הרעיון המרכזי
קובעים z=0 במשוואת הישר, פותרים עבור t, ואז מחשבים את x ו-y בנקודה זו.
נוסחה
3 + t = 0
3 + t = 0
משוואה
הישר מוגדר על ידי הנוסחה (1+2t, -1-3t, 3+t)
הישר מוגדר על ידי הנוסחה (1+2t, -1-3t, 3+t)
פישוט
t = -3
t = -3
t = -3
תוצאה
מסיימים בתשובה
(-5, 8, 0)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הישר הפרמטרי

מה עושים

הישר מוגדר על ידי הנוסחה (1+2t, -1-3t, 3+t)

למה

זו הצורה הפרמטרית של הישר במרחב

היצוג הפרמטרי מתאר נקודות לאורך הישר בהתאם לפרמטר t

בחירת שיטה

קביעת z=0 בהגדרת הישר

מה עושים

נציב z=3+t=0 ונמצא את t

למה

רוצים שקואורדינטת z תהיה 0 כדי להיות על מישור XY

זוהי נקודת החיתוך עם מישור ה-XY

בניית משוואה

פתרון לקבלת t

מה עושים

3 + t = 0

למה

מחפשים ערך t שגורם ל-z להיות 0

נציב משוואה ונפתור

נוסחה / הצבה

3 + t = 0

התקדם לפשט משוואה לינארית פשוטה

פתרון

חישוב t

מה עושים

t = -3

למה

זו הערך של t לנקודת החיתוך

פתרנו את המשוואה לקבלת הפרמטר המתאים

נוסחה / הצבה

t = -3

פתרון

חישוב נקודת החיתוך

מה עושים

חשב x = 1 + 2*(-3) = -5; y = -1 - 3*(-3) = 8; z = 0

למה

לחשב את נקודת החיתוך על פי ערך t

מחשבים את x ו-y לפי הפונקציות ומשאירים z = 0 לפי מישור ה-XY

נוסחה / הצבה

x = 1 + 2ty = -1 - 3tz = 0x = 1 + 2t, y = -1 - 3t, z=0x = 1 + 2t, y = -1 - 3t, z = 0

תשובה

נקודת החיתוך היא

מה עושים

(-5, 8, 0)

למה

זו נקודת החיתוך היחידה של הישר עם מישור ה-XY

נקודה במרחב

פתרונות כלליים

כתיבת משוואה פרמטרית של ישר מ2 נקודות: וקטור הכיוון הוא B - A = (3-1, -4-(-1), 4-3) = (2, -3, 1). משוואת הישר היא P = (1, -1, 3) + t(2, -3, 1). נקודה כללית היא (1+2t, -1-3t, 3+t).
מציאת נקודת חיתוך עם מישור y=0: -1 - 3t = 0 => 3t = -1 => t = -1/3. עבור t זה, נקודת החיתוך היא (1+2*(-1/3), 0, 3+(-1/3)) = (1 - 2/3, 0, 3 - 1/3) = (1/3, 0, 8/3).
בדיקת שייכות נקודה לישר פרמטרי: x=1+2t=1 => 2t=0 => t=0. y=-1-3t = -1 => -3t=0 => t=0. z=3+t=3 => t=0. כל ערכי t שווים => נקודה שייכת לישר.
השאלה: נקודת חיתוך הישר עם מישור: y = -1 - 3t = 0 => t = -1/3. לכן x = 1 + 2(-1/3) = 1 - 2/3 = 1/3; z = 3 + (-1/3) = 8/3. נקודת החיתוך היא (1/3, 0, 8/3).

הפריט הקודם הפריט הבא

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך t עבורו z=0 / נקודת החיתוך במרחב

נוסחת הישר: (1+2t, -1-3t, 3+t)

נתון 2

הרעיון המרכזי

3 + t = 0

הישר מוגדר על ידי הנוסחה (1+2t, -1-3t, 3+t)

t = -3

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הישר הפרמטרי

קביעת z=0 בהגדרת הישר

פתרון לקבלת t

חישוב t

חישוב נקודת החיתוך

נקודת החיתוך היא

פתרונות כלליים