השיעור מתמקד בשימוש בוקטורים גיאומטריים במרחב לשל ניתוח מצב של פירמידה עם זוויות ישרות. נלמד כיצד להביע גדלים של וקטורים בתלות בפרמטרים, לחשב מכפלות סקלריות, ולהבין את הקשר בין וקטורים באמצעות מכפלה סקלרית וקוסינוס זוויות ביניהם.
להבין ייצוג וקטורים במישור ובמרחב
לחשב גדלים של וקטורים בתלות בפרמטרים
לבסס משוואות באמצעות וקטורים ומכפלות סקלריות
לחשב קוסינוס של זווית בין וקטורים במרחב
מבוא לפירמידה ווקטורים: הצגה של פירמידה ABCD עם בסיס משולש וזוויות ישרות, והגדרת וקטורים מרכזיים W, V, U עם יחסים בין גדלים.
חישוב גדלים ומכפלות סקלריות: חישוב גדלים של וקטורים ומכפלות דוט (DOT) ביניהם ולאחר מכן הסקת זוויות ביניהם, בעיקר 90 מעלות כדי לאפיין אורטוגונליות.
בניית משוואות וקוסינוס אלפא: הגדרת הזווית אלפא בין וקטורים PQ ו-PC והבעה של קוסינוס אלפא במונחי מכפלה סקלרית, בניית וקטורים בפירמידה, ופישוט אלגבראי מתקדם של הביטוי

תרגול קצר

חישוב גודל וקטורים ויחסים ביניהם

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן וקטרים U, V, W כאשר הגודל של W שווה לגודל של V, והגודל של V שווה פעמיים הגודל של U. אם הגודל של U הוא a, חשבו את הגדלים של V ו-W.

וקטוריםגדליםיחסים

רמז: זכרו את הנתון V=2U ו-W=V

פתרון מלא

תשובה סופית: גודל V ו-W הם 2a

גודל V הוא 2a, וגודל W (שווה ל-V) גם 2a.

חישוב קוסינוס זווית בין וקטורים

רמת קושי: בינוני

ממתין

הגדירו את הזווית אלפא בין הוקטורים PQ ו-PC בפירמידה כפי שמוגדרת בשיעור. מצאו את הנוסחה לחישוב קוסינוס אלפא במשתנים a ו-T.

וקטוריםמכפלה סקלריתקוסינוספרמטרים

רמז: השתמשו בנוסחת מכפלה סקלרית: cos(alpha) = (PQ DOT PC) / (|PQ| * |PC|)

פתרון מלא

תשובה סופית: קוסינוס אלפא מפורט כביטוי אלגברי של a ו-T

כתבו את הוקטורים PQ ו-PC בפרמטר T, חשבו מכפלות דוט וגדלים, וסכמו את הביטוי לפי a ו-T כפי שהוסבר בשיעור.

פישוט ביטוי קוסינוס אלפא בפירמידה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן ביטוי אלגברי מורכב של קוסינוס אלפא כריבוע של פולינום ב-T וכפולות של a, בצעו פישוט ותמצאו את הביטוי במשתנים a ו-T בצורה מיטבית.

אלגברהפולינומיםוקטוריםפישוט

רמז: פשטו פולינומים על ידי קיבוץ וחישוב מקדמים, זכרו לשמור על סימטריה ודיוק בחשבון של חזקות T.

פתרון מלא

תשובה סופית: הביטוי הסופי הוא a בריבוע כפול פולינום תשע T בריבוע ועוד מינוס ארבע עשר וחצי T ועוד שש.

הוציאו גורמים משותפים, סיכמו את מקדמי T בריבוע ו-T, והציגו את התוצאה בצורה של פולינום פשוט לפי T וכפול ל-a בריבוע.

חשב את קוסינוס הזווית בין וקטורים במרחב פירמידה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פירמידה ABCD עם זוויות ישרות בפינות מסוימות. מוגדרים וקטורים U, V, W כאשר |V|=2|U| ו-|W|=|V|, ונקודות P ו-Q שמגדירות וקטורים PQ ו-PC תלויים בפרמטר T. מצא ביטוי מפורט של cos(alpha) בין PQ ל-PC בהתאם לפרמטרים הנתונים.

מבחן בגרותוקטורים במרחבחישוב קוסינוס

רמז: השתמש בנוסחת מכפלה סקלרית לחישוב קוסינוס הזווית, פרט את הוקטורים בהתאם לנתוני הפרמטרים, והשתמש בתכונות אורטוגונליות כבסיס לחישובים.

פתרון מלא

תשובה סופית: cos(alpha) כתלות מפורטת ב-a וב-T לפי הנוסחה במתאר האלגברי שניתן בשיעור.

יישם את הצעדים: כתיבת וקטורים בפרמטר T, חישוב גדלים ומכפלות סקלריות, בניית המשוואה של cos(alpha), ופישוט אלגברי עד לקבלת התוצאה בצורה תלויה ב-T וב-a.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב קוסינוס זווית אלפא בין וקטורים בפירמידה

פירוק השלבים לחישוב cos(α) בין וקטורים PQ ו-PC

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ביטוי של cos(α) כפונקציה של a ו-T
נתון 1
נתון 1
וקטורים U, V, W עם |V|=2|U|, |W|=|V|
נתון 2
נקודות P ו-Q המוגדרות בפרמטר T על קטעים בגאומטריית הפירמידה
נתון 3
הגדרת הזווית אלפא בין וקטורים PQ ל-PC
רעיון
הרעיון המרכזי
להגדיר את הוקטורים PQ ו-PC בהתאם לפרמטרים, לחשב את מכפלת הדוט שלהם, וכן את גדלי הוקטורים,
נוסחה
בטאו את הוקטורים על פי נקודות P,Q ופרמטר T תוך שימוש בוקטורים U, V, W
PQ = (1 - T)(-W - V - U) + 1/2 UPQ = (1-T)(-W - V - U) + (1)/(2)U
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את מכפלת הדוט בין PQ ל-PC תוך פירוט לפי גורמים עם T ו-a
חשב את מכפלת הדוט בין PQ ל-PC תוך פירוט לפי גורמים עם T ו-a

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת וקטורים ופרמטרים

מה עושים

נתונים גדלי הוקטורים ויחסיהם, ונקודות P,Q בהתאם לפרמטר T

למה

כדי לדעת איך לבטא וקטורים במרחב בהמשך

לפירמידה יש וקטורים U, V, W עם יחסים ידועים וגודל U=a. נקודות P,Q מוגדרות על קווים לפי T.

בחירת שיטה

קוסינוס הזווית לפי מכפלה סקלרית

מה עושים

להשתמש בנוסחה: cos(α) = (PQ DOT PC) / (|PQ| * |PC|)

למה

קוסינוס זווית מוגדר כמכפלה סקלרית של הוקטורים חלקי מכפלת גדלים

נוסחה / הצבה

cos(alpha) = (PQ DOT PC) / (|PQ| * |PC|)= (PQ * PC)/(|PQ| |PC|)

שמרו על סדר נכון בפעולות החישוב

פתרון

הגדרת וקטורי PQ ו-PC בפרמטרים

מה עושים

בטאו את הוקטורים על פי נקודות P,Q ופרמטר T תוך שימוש בוקטורים U, V, W

למה

לעבוד עם ביטויים אלגבריים ולקדם חישובים

PQ = (1 - T)(-W - V - U) + (1/2)U ועוד חלוקה לפרמטרים. PC = ביטוי דומה

נוסחה / הצבה

PQ = (1 - T)(-W - V - U) + 1/2 UPQ = (1-T)(-W - V - U) + (1)/(2)U

ארגנו את הביטויים לסכום וקטורי ברור

פתרון

חשב PQ DOT PC

מה עושים

חשב את מכפלת הדוט בין PQ ל-PC תוך פירוט לפי גורמים עם T ו-a

למה

המכפלה בסקלר היא המונה בנוסחה של cos(α)

מכפלות הדוט מפורקות ליחידות עם ידועות |U|, |V|, |W| ויחסים

זכור להשתמש בתכונות אורטוגונליות בין הוקטורים

פתרון

חשב |PQ| ו-|PC|

מה עושים

חשב גדלים על ידי שורש הריבוע של המעצבים או מכפלת הדוט עם עצמם

למה

הגדלים הם המכנה בנוסחה של cos(α)

אפשר להשתמש במכפלת דוט עם עצמם לחישוב הריבוע של הגודל

פתרון

פשט את הביטוי הסופי של cos(α)

מה עושים

קיבץ מקדמים, הוצא גורמים משותפים וקבע ביטוי פונקצייתי של cos(α) המשתנה ב-T וב-a

למה

צמצום הביטוי מפשט ניתוח והבנת התלות בפרמטרים

שימו לב לשורשים שונים ולכן אי אפשר לפשט מעבר

פתרונות כלליים

חישוב גודל וקטורים ויחסים ביניהם: גודל V הוא 2a, וגודל W (שווה ל-V) גם 2a.
חישוב קוסינוס זווית בין וקטורים: כתבו את הוקטורים PQ ו-PC בפרמטר T, חשבו מכפלות דוט וגדלים, וסכמו את הביטוי לפי a ו-T כפי שהוסבר בשיעור.
פישוט ביטוי קוסינוס אלפא בפירמידה: הוציאו גורמים משותפים, סיכמו את מקדמי T בריבוע ו-T, והציגו את התוצאה בצורה של פולינום פשוט לפי T וכפול ל-a בריבוע.
חשב את קוסינוס הזווית בין וקטורים במרחב פירמידה: יישם את הצעדים: כתיבת וקטורים בפרמטר T, חישוב גדלים ומכפלות סקלריות, בניית המשוואה של cos(alpha), ופישוט אלגברי עד לקבלת התוצאה בצורה תלויה ב-T וב-a.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב5. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ביטוי של cos(α) כפונקציה של a ו-T

נתון 1

נקודות P ו-Q המוגדרות בפרמטר T על קטעים בגאומטריית הפירמידה

הגדרת הזווית אלפא בין וקטורים PQ ל-PC

הרעיון המרכזי

בטאו את הוקטורים על פי נקודות P,Q ופרמטר T תוך שימוש בוקטורים U, V, W

נבנה משוואה

חשב את מכפלת הדוט בין PQ ל-PC תוך פירוט לפי גורמים עם T ו-a

פתרון מפורט

הגדרת וקטורים ופרמטרים

קוסינוס הזווית לפי מכפלה סקלרית

הגדרת וקטורי PQ ו-PC בפרמטרים

חשב PQ DOT PC

חשב |PQ| ו-|PC|

פשט את הביטוי הסופי של cos(α)

פתרונות כלליים