MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
6 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב3. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב4. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב5. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב6. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

וידאו

ג2. וקטור אלגברי המישורים הראשיים והישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג5. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג6. חלוקת הקטע בדרך נוספת בעזרת משפט תאלס

וידאו

ד1. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד2. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד3. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד4. מצב הדדי בין ישרים במרחב

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בהבנת המעבר בין ייצוגים גיאומטריים של וקטורים בשטח לתיאוריים אלגבריים במערכת צירים מרחבית, התמקדות בקואורדינטות, חיבור וחיסור וקטורים, וחישוב זוויות בין וקטורים באמצעות מכפלה סקלרית.
  • להבין ולהגדיר את הוקטור הגיאומטרי ומעברו לייצוג אלגברי במערכת צירים
  • להכיר מערכת צירים מרחבית ולעבוד עם קואורדינטות וקטוריות (X,Y,Z)
  • לדעת לכתוב וקטור כווקטור אלגברי באמצעות חיסור נקודות
  • להשתמש במכפלה סקלרית לחישוב אורך וקטור וזווית בין וקטורים
  • להבין ולהכיר את חשיבות הסדר והכיווניות בוקטורים
  • לפתח יכולת לדמות ולקחת החלטות לגבי ייצוג וקטורים ופעולות עליהם
  • הכירו את הקובייה ומערכת הצירים: הוצגה קובייה עם נקודות מסומנות והוגדרו וקטורים שווים בגודל עם כיוונים ניצבים זה לזה. הוסבר כיצד מערכת הצירים המרחבית מוגדרת באופן סטנדרטי עם צירים X, Y, Z בעלי זוויות ישרות.
  • רישום וקטורים וקואורדינטות אלגבריים: הוסבר כיצד להגדיר כל וקטור לפי קואורדינטות על ידי חיסור רכיבי נקודות במרחב. דוגמאות של וקטורים שמתחילים בציר ה-X, Y, ונקודות במיקום משולב עם הסבר לגבי סדר ורישום נכון כווקטור ולא נקודה.
  • חישוב אורך וקטור באמצעות המכפלה הסקלרית: הסבר מפורט כיצד לחשב את אורך הוקטור באמצעות המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו באמצעות החיבור של מכפלות הרכיבים וציון שכל זוויות בין הצירים הן 90 מעלות.

תרגול קצר

ייצוג וקטור אלגברי בין שתי נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים נקודות P(1,0,0) ו-Q(0,1,0). כתבו את הוקטור PQ בייצוג אלגברי.

וקטוריםייצוג אלגבריחישוב וקטור

רמז: הוקטור PQ מוגדר כהפרש הרכיבים Q פחות P

פתרון מלא

תשובה סופית: (-1, 1, 0)

וקטור PQ = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)

חישוב אורך וקטור

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון הוקטור V = (1, 1, 1). חשבו את אורך הווקטור.

אורך וקטורחישובים

רמז: אורך וקטור הוא השורש של סכום ריבועי הרכיבים

פתרון מלא

תשובה סופית: שורש 3

|V| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)

חישוב זווית בין שני וקטורים במרחב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונים הוקטורים D' = (1, -1, 1) ו-C'A = (1, 1, -1). מצאו את הזווית ביניהם.

זווית בין וקטוריםמכפלה סקלריתחישובים אלגבריים

רמז: השתמשו בנוסחת המכפלה הסקלרית וחישבו את הזווית באמצעות יחס המכפלה לאורך הוקטורים

פתרון מלא

תשובה סופית: 109.471 מעלות

D' · C'A = 1*1 + (-1)*1 + 1*(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 אורכי הוקטורים: |D'| = sqrt(1+1+1) = sqrt(3), |C'A| = sqrt(1+1+1) = sqrt(3) cos Alpha = -1 / (sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/3 Alpha = arccos(-1/3) = 109.471 מעלות

זווית בין וקטורים כלשהם בקובייה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונים הוקטורים D' = V - U + W ו-C'A = V + U - W כאשר V, U, W וקטורים בגודל 1 ומאונכים זה לזה. חשבו את הזווית בין D' ל-C'A.

זווית בין וקטוריםמכפלה סקלריתוקטורים בגאומטריה

רמז: פשטו את הוקטורים ואז חשבו את המכפלה הסקלרית בין D' ל-C'A

פתרון מלא

תשובה סופית: 109.471 מעלות

D' · C'A = (V - U + W) · (V + U - W) = V·V + V·U - V·W - U·V - U·U + U·W + W·V + W·U - W·W ידוע ש-V, U, W מאונכים ולכן המכפלות בין וקטורים שונים הם 0 והם בגודל 1 בעצמם: = 1 + 0 - 0 - 0 -1 + 0 + 0 + 0 -1 = 1 - 1 - 1 = -1 הערכים של |D'| ו-|C'A| הם שורש 3 כל אחד (מאחר ורכיביהם הם 1, -1 או 1) לכן: cos Alpha = -1 / (sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/3 Alpha = arccos(-1/3) ≈ 109.471 מעלות

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית בין 2 וקטורים במרחב

כיצד למצוא את הזווית בין שני וקטורים נתונים בקובייה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא זווית Alpha בין הווקטורים D' ו-C'A

  2. נתון 1

    וקטורים V, U, W שווים באורך 1 ומאונכים זה לזה

  3. נתון 2

    נתון 2

    D' = V - U + W
  4. נתון 3

    נתון 3

    C'A = V + U - W
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את המכפלה הסקלרית בין D' ל-C'A ונשתמש בנוסחת זווית בין וקטורים

  6. נוסחה

    נחשב את Alpha לפי הנוסחה ונדגים את הערך המתקבל

    cos Alpha = -1/3Alpha = arccos(-1/3)= -(1)/(3)\ = (-(1)/(3))
  7. משוואה

    נפתח את D' · C'A לפי פעולות חיבור וחיסור בין וקטורים

    נפתח את D' · C'A לפי פעולות חיבור וחיסור בין וקטורים

    D' · C'A= V·V+ V·U- V·W- U·V
  8. פישוט

    נחליף ערכים ונסכם

    נחליף ערכים ונסכם

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הוקטורים

מה עושים

כתוב את הוקטורים D' ו-C'A לפי רכיביהם

למה

מהווים בסיס לחישוב המכפלה הסקלרית

D' = V - U + W C'A = V + U - W

2

בחירת שיטה

שימוש במכפלה סקלרית

מה עושים

נחשב את הדוט פרודקט בין D' ל-C'A

למה

המכפלה הסקלרית מאפשרת למצוא קשר בין וקטורים

D' · C'A = ?

3

בניית משוואה

פרוק והרחבת המכפלה

מה עושים

נפתח את D' · C'A לפי פעולות חיבור וחיסור בין וקטורים

למה

לחשב כל רכיב בנפרד בהתחשב שהווקטורים מאונכים

(V - U + W) · (V + U - W) = V·V + V·U - V·W - U·V - U·U + U·W + W·V + W·U - W·W

נוסחה / הצבה

D' · C'A= V·V+ V·U- V·W- U·V

זכור שוקטורים מאונכים; מכפלות של וקטורים שונים הן 0; ווקטור עם עצמו הוא 1

4

פתרון

חישוב התוצאה של המכפלה

מה עושים

נחליף ערכים ונסכם

למה

לקבל ערך מספרי למכפלה הסקלרית

V·V = 1; U·U = 1; W·W = 1; שאר המכפלות בין וקטורים שונים הן 0. לכן D' · C'A = 1 + 0 - 0 - 0 - 1 + 0 + 0 + 0 - 1 = -1

5

פתרון

חישוב אורך הוקטורים

מה עושים

נחשב את אורך D' ואת אורך C'A

למה

כדי להשתמש בנוסחת הזווית בין וקטורים

|D'| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(3) |C'A| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(3)

נוסחה / הצבה

|D'| = sqrt(3), |C'A| = sqrt(3)|D'| = 3, |C'A| = 3
6

תשובה

חישוב הזווית בין הוקטורים

מה עושים

נחשב את Alpha לפי הנוסחה ונדגים את הערך המתקבל

למה

לסיים עם תוצאה מספרית של הזווית

cos Alpha = (D' · C'A) / (|D'| * |C'A|) = -1 / (sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/3 Alpha = arccos(-1/3) ≈ 109.471 מעלות

נוסחה / הצבה

cos Alpha = -1/3Alpha = arccos(-1/3)= -(1)/(3)\ = (-(1)/(3))

תמיד בדקו האם הזווית המתקבלת חדה או כהה בהתאם לכיוון הוקטורים

פתרונות כלליים

  • ייצוג וקטור אלגברי בין שתי נקודות: וקטור PQ = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)
  • חישוב אורך וקטור: |V| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)
  • חישוב זווית בין שני וקטורים במרחב: D' · C'A = 1*1 + (-1)*1 + 1*(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 אורכי הוקטורים: |D'| = sqrt(1+1+1) = sqrt(3), |C'A| = sqrt(1+1+1) = sqrt(3) cos Alpha = -1 / (sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/3 Alpha = arccos(-1/3) = 109.471 מעלות
  • זווית בין וקטורים כלשהם בקובייה: D' · C'A = (V - U + W) · (V + U - W) = V·V + V·U - V·W - U·V - U·U + U·W + W·V + W·U - W·W ידוע ש-V, U, W מאונכים ולכן המכפלות בין וקטורים שונים הם 0 והם בגודל 1 בעצמם: = 1 + 0 - 0 - 0 -1 + 0 + 0 + 0 -1 = 1 - 1 - 1 = -1 הערכים של |D'| ו-|C'A| הם שורש 3 כל אחד (מאחר ורכיביהם הם 1, -1 או 1) לכן: cos Alpha = -1 / (sqrt(3)*sqrt(3)) = -1/3 Alpha = arccos(-1/3) ≈ 109.471 מעלות
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.