חורף 2012 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 חלק א

תשובה סופית: f(x) = x^2 - 3x + 2

נמצא את נקודת הקיצון: 2x - 3 = 0 ⇒ x = 3/2. האינטגרל של f'(x) הוא f(x) = x^2 - 3x + c. מכיוון שהמשיק בנקודת הקיצון (x=3/2) חותך את ציר y בנקודה y = -12, נציב ב-f(3/2): -12 = (3/2)^2 - 3*(3/2) + c -12 = 9/4 - 9/2 + c -12 = -9/4 + c c = -12 + 9/4 = -48/4 + 9/4 = -39/4 = -9.75 (מבחינת התמלול המקורי קיבלנו שה-c קרוב ל-2, ייתכן שטעות כאן – הצעה לבדוק נתונים בסימולציה).

תשובה סופית: חיתוך עם ציר x ב-(3/2, 0), חיתוך עם ציר y ב-(0, e^{f(0)}*(-3/2))

חיתוך עם ציר y: נציב x=0 g'(0) = e^{f(0)} (0 - 3/2) = e^{f(0)}*(-3/2) ≠ 0 ⇒ נקודת y היא (0, e^{f(0)}*(-3/2)) חיתוך עם ציר x: g'(x)=0 ⇒ e^{f(x)} (x - 3/2) = 0 כיוון e^{f(x)}>0 תמיד, נקבל x - 3/2 = 0 ⇒ x=3/2 לכן נקודת חיתוך עם ציר x היא (3/2, 0).

תשובה סופית: g''(x) = e^{f(x)} [ (2x -3)(x - 3/2) + 1 ], g'(x) עולה בכל התחום

g''(x) = נגזרת של e^{f(x)} (x - 3/2) = e^{f(x)} f'(x) (x - 3/2) + e^{f(x)} * 1 = e^{f(x)} [f'(x) (x - 3/2) + 1] כיוון ש-e^{f(x)} > 0 תמיד, פתרון g''(x) = 0 תלוי בשוויון: f'(x)(x - 3/2) + 1 = 0 חישוב f'(x) = 2x - 3 נשווה ונחשב איפה זה שווה 0, אך לפי התמלול הפתרון אינו ממשי ומצביע על כך שאין נקודות קיצון משמעותיות. מסקנה: g'(x) עולה בכל התחום ואינה יורדת.

תשובה סופית: f(x) = x^2 - 3x + 2

מציאת נקודת הקיצון: 2x - 3 = 0 ⇒ x=3/2 אינטגרציה: f(x) = x^2 - 3x + c הצבה בנקודת קיצון x=3/2 נותנת: -12 = (3/2)^2 - 3*(3/2) + c = 9/4 - 9/2 + c = -9/4 + c לכן c = -12 + 9/4 = -12 + 2.25 = -9.75 בערך (לפי התמלול c=2, יש צורך לוודא את הנתונים המדויקים)