הסבר על הקשר בין שיפוע לוקטור, מימוש וקטורי של משוואות ישרים, ושימוש בדוט פרודקט למציאת זוויות, עם דגש על המרה בין שיפועים לוקטורים והפעלת פעולות אנליטיות ווקטוריות לפתרון תרגילים.
להבין את הקשר בין שיפוע לוקטור במישור.
לחקור ולהפוך בין שיפוע לוקטור ולהיפך.
להשתמש בדוט פרודקט למציאת זוויות בין וקטורים.
להקים משוואות של ישרים באמצעות וקטורים ושיפועים.
לתמרן בין כלי אנליטיים לווקטוריים בפתרון בעיות גאומטריות.
הקשר בין שיפוע לוקטור: לומדים כיצד שיפוע של ישר במישור מקביל לוקטור וכיצד ניתן להמיר בין שיפוע ווקטור על ידי הפרשי הקורדינטות של שתי נקודות.
שימוש בדוט פרודקט (מפעל נקודה): הסבר כיצד להשתמש בדוט פרודקט בין וקטורים לחישוב קוסינוס הזווית ביניהם, תוך שימת לב לצמצומים שמותר ואסור לבצע.
בניית משוואת ישר עם שיפוע ווקטור: המורה מציג כיצד לבנות משוואת ישר ולהמיר בין ייצוגים שונים של ישר לפי המוקד על שיפוע או וקטור זוויתי.

תרגול קצר

חישוב שיפוע ווקטור בין שתי נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הנקודות A(1,2) ו-B(4,8). חשב את השיפוע של הישר שעובר ביניהן ואת הוקטור המתאים להן.

שיפועוקטורהפרשי נקודות

רמז: השתמש בהפרש הקורדינטות: שיפוע = (y2 - y1) / (x2 - x1), וקטור = (x2 - x1, y2 - y1).

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפוע: 2 וקטור: (3, 6)

שיפוע m = (8-2)/(4-1) = 6/3 = 2. וקטור v = (4-1, 8-2) = (3, 6).

המרת שיפוע לוקטור בחישוב זווית

רמת קושי: בינוני

ממתין

יש ישר עם שיפוע m = -3. מצא וקטור שמתאים לו וחישב את קוסינוס הזווית בין וקטור זה לוקטור (1,1).

שיפועוקטורזוויתדוט פרודקט

רמז: וקטור מתאים הוא (1, m). חשב את המכפלה הסקלרית וחלק בגודל הוקטורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: וקטור (1, -3), קוסינוס הזווית = -1/שורש5

וקטור המתאים ל-m=-3 הוא (1, -3). גודל של (1,-3) = שורש(1² + (-3)²) = שורש(10). וקטור (1,1) גודלו שורש(2). מכפלה סקלרית: 1*1 + (-3)*1 = 1 - 3 = -2. קוסינוס הזווית = -2 / (שורש10 * שורש2) = -2 / שורש20 = -2 / (2*שורש5) = -1/שורש5.

פתרון משוואות ישרים וקטורית עם זוויות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן שני וקטורים ו- M, הוכח ש-M = -1/3 היא הפתרון למשוואה הבאה: 2 חלקי שורש 10 = (1 + M) חלקי שורש (1 + M בריבוע)

וקטוריםמשוואות ריבועיותדוט פרודקטפתרון משוואות

רמז: הרם בריבוע עם שני האגפים, פשט ופתור משוואה ריבועית.

פתרון מלא

תשובה סופית: M = -1/3 או M = -3, הפתרון המתאים הוא M = -1/3

הרמת ריבוע: 4/10 = (1+M)² / (1+M²). 10(1+M)² = 4(1+M²). פיתוח: 10(1 + 2M + M²) = 4 + 4M². 10 + 20M + 10M² = 4 + 4M². העברת אגפים: 6M² + 20M + 6 = 0. חילוק ב-2: 3M² + 10M + 3 = 0. פתרון משוואה ריבועית. M = -1/3 או M = -3.

שאלת חיפוש הישר המתאים לפי שיפועים ווקטורים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון ישר עם נקודה P(2,5) ושיפוע מבלי ידוע M. הוקטור המתאים הוא (1,M). אילו ערכי M מתאימים אם על פי תנאי הבעיה M = -1/3? כתוב את משוואת הישר והראה מה נקודת החיתוך עם הישר X-1=0.

משוואות ישרשיפועיםוקטורים

רמז: השתמש במשוואת ישר דרך נקודה ושיפוע y - y1 = m(x - x1).

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת הישר: y = -1/3 x + 17/3 נקודת חיתוך עם x=1 היא (1, 16/3)

M = -1/3. משוואת ישר: y - 5 = -1/3 (x - 2) => y = -1/3 x + 2/3 + 5 = -1/3 x + 17/3. נמצא חיתוך עם x=1: y = -1/3 * 1 + 17/3 = -1/3 + 17/3 = 16/3. נקודת החיתוך היא (1, 16/3).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב שיפוע והמרתו לוקטור

כיצד להמיר שיפוע לוקטור ולחשב קוסינוס זווית בין וקטורים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא וקטור v המתאים לשיפוע M / קוסינוס הזווית בין v ל-u
נתון 1
נתון 1
שיפוע הישר M = -3
נתון 2
נתון 2
וקטור u = (1,1)
רעיון
הרעיון המרכזי
המרת שיפוע לוקטור, חישוב גודל הוקטורים, שימוש בדוט פרודקט לחישוב הזווית.
נוסחה
חלק את המכפלה הסקלרית בגודלי הוקטורים כדי לקבל קוסינוס הזווית.
cos α = (v · u) / (|v| * |u|)= (v * u)/(|v| |u|)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את גודל כל וקטור לפי הפורמולה שורש סכום הריבועים.
חשב את גודל כל וקטור לפי הפורמולה שורש סכום הריבועים.
תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב את מכפלת הנקודה בין v ל-u.

זוהי הנוסחה לחישוב קוסינוס הזווית בין שני וקטורים.

קוסינוס α = (v · u) / (|v| * |u|) = -2 / (שורש10 * שורש2) = -1 / שורש5.

נוסחה / הצבה

cos α = (v · u) / (|v| * |u|)= (v * u)/(|v| |u|)

הקפד לא לפשט בדרך לא נכונה את השורשים.

פתרונות כלליים

חישוב שיפוע ווקטור בין שתי נקודות: שיפוע m = (8-2)/(4-1) = 6/3 = 2. וקטור v = (4-1, 8-2) = (3, 6).
המרת שיפוע לוקטור בחישוב זווית: וקטור המתאים ל-m=-3 הוא (1, -3). גודל של (1,-3) = שורש(1² + (-3)²) = שורש(10). וקטור (1,1) גודלו שורש(2). מכפלה סקלרית: 1*1 + (-3)*1 = 1 - 3 = -2. קוסינוס הזווית = -2 / (שורש10 * שורש2) = -2 / שורש20 = -2 / (2*שורש5) = -1/שורש5.
פתרון משוואות ישרים וקטורית עם זוויות: הרמת ריבוע: 4/10 = (1+M)² / (1+M²). 10(1+M)² = 4(1+M²). פיתוח: 10(1 + 2M + M²) = 4 + 4M². 10 + 20M + 10M² = 4 + 4M². העברת אגפים: 6M² + 20M + 6 = 0. חילוק ב-2: 3M² + 10M + 3 = 0. פתרון משוואה ריבועית. M = -1/3 או M = -3.
שאלת חיפוש הישר המתאים לפי שיפועים ווקטורים: M = -1/3. משוואת ישר: y - 5 = -1/3 (x - 2) => y = -1/3 x + 2/3 + 5 = -1/3 x + 17/3. נמצא חיתוך עם x=1: y = -1/3 * 1 + 17/3 = -1/3 + 17/3 = 16/3. נקודת החיתוך היא (1, 16/3).

הפריט הקודם הפריט הבא

ג7. חזרות אנליטית וקטורים

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא וקטור v המתאים לשיפוע M / קוסינוס הזווית בין v ל-u

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

חלק את המכפלה הסקלרית בגודלי הוקטורים כדי לקבל קוסינוס הזווית.

נבנה משוואה

חשב את גודל כל וקטור לפי הפורמולה שורש סכום הריבועים.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני השיפוע והוקטור

המרת שיפוע לוקטור

חישוב הגדלים של הוקטורים

חישוב מכפלה סקלרית בין הוקטורים

חישוב קוסינוס הזווית

פתרונות כלליים