השיעור מתמקד בחזרות בנושא זוויות ושיפועים, כולל חישוב טנגנס וזווית במישור, והצגת גישה וקטורית לחישוב זוויות בין וקטורים באמצעות מכפלת סקלרית.
להבין את הקשר בין השיפוע לזווית בקואורדינטות
לחשב טנגנס וזוויות במישור
להבין את הגישה הוקטורית לחישוב זוויות בין וקטורים
ליישם מכפלת וקטורים למציאת קוסינוס הזווית בין וקטורים
הגדרת שיפוע וזווית: הקשר בין טנגנס הזווית ושיפוע הקו הישר המוגדר על פי נקודות במישור.
חישוב זוויות בשימוש במחשבון: המחשה של שימוש בפונקציית טנגנס להפיכת השיפוע לזווית ומניפולציות משולשוניות בסיסיות.
גישת וקטורים לחישוב זוויות: שימוש במכפלת נקודתית (דוט) בין וקטורים לחישוב קוסינוס הזווית ביניהם ומציאת הזווית באופן ישיר.

תרגול קצר

חשב את שיפוע הקו בין שתי נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הנקודות A(2,3) ו-B(5,6). חשב את שיפוע הקו המחבר ביניהן.

שיפועקו ישר

רמז: השתמש בהפרש של הערכים Y והפרש של הערכים X

פתרון מלא

תשובה סופית: 1

m = (6 - 3) / (5 - 2) = 3/3 = 1

חשב את זווית הקו עם ציר X

רמת קושי: בינוני

ממתין

קו ישר עובר דרך הנקודות (2,3) ו-(5,6). חשב את הזווית שהקו יוצר עם ציר X.

זוויתשיפועטנגנס

רמז: נחשב קודם את השיפוע, ורק לאחר מכן את הטנגנס הפוך (arctg)

פתרון מלא

תשובה סופית: 45 מעלות

שיפוע m = 1 זווית Alfa = arctg(1) = 45 מעלות

מצא את הזווית בין שני וקטורים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונים הוקטורים A = (2,3) ו-B = (1,-2). חשב את הזווית ביניהם.

וקטורזוויתמכפלת סקלרית

רמז: חשב את מכפלת הנקודה והרמות של כל וקטור, והשתמש בקוסינוס הזווית

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-60.25 מעלות

מכפלת נקודתית: 2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4 אורך A = שורש(2^2 + 3^2) = שורש(13) אורך B = שורש(1^2 + (-2)^2) = שורש(5) cos Alfa = |-4| / (שורש 13 * שורש 5) = 4 / שורש 65 Alfa = arccos(4/שורש 65) ≈ 60.25 מעלות

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית בין שני וקטורים

גישה וקטורית למציאת הזווית בין וקטורים במישור

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא זווית Alfa בין הוקטורים A ו-B
נתון 1
נתון 1
וקטור A = (2,3)
נתון 2
נתון 2
וקטור B = (1,-2)
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במכפלה הסקלרית של הוקטורים כדי למצוא את קוסינוס הזווית ביניהם ואז נחזיר לזווית באמצעות
נוסחה
הכנס את הערכים לנוסחה cos Alfa = |a·b| / (|a|*|b|)
cos Alfa = absolute(a · b) / ( magnitude a * magnitude b )cos Alfa= absolute(a · b) divided by (magnitude a times magnitudeb)= ( |a * b|)/(|a| |b|)
משוואה
חשב |A| ו-|B|
חשב |A| ו-|B|
פישוט
חשב את ארקקוסינוס של הערך שמצאת
חשב את ארקקוסינוס של הערך שמצאת
תוצאה
מסיימים בתשובה
הצג את התוצאה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדר וקטורים A ו-B

מה עושים

רשום את רכיבי הוקטורים

למה

צריך את נתוני הוקטורים לחישוב הבא

A=(2,3), B=(1,-2)

בחירת שיטה

חשב מכפלה סקלרית

מה עושים

חשב a·b = x1*x2 + y1*y2

למה

מכפלה נקודתית משמשת למציאת קוסינוס הזווית

2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4

בניית משוואה

חשב גדלי וקטורים

מה עושים

חשב |A| ו-|B|

למה

יש להשתמש בגדלים בנוסחה לקוסינוס הזווית

|A|= שורש(2^2+3^2)= שורש 13 |B|= שורש(1^2+(-2)^2)= שורש 5

פתרון

חשב קוסינוס הזווית

מה עושים

הכנס את הערכים לנוסחה cos Alfa = |a·b| / (|a|*|b|)

למה

מאפשר למצוא את הערך המדויק של הקוסינוס

cos Alfa = 4 / שורש 13 * שורש 5 = 4 / שורש 65

נוסחה / הצבה

cos Alfa = absolute(a · b) / ( magnitude a * magnitude b )cos Alfa= absolute(a · b) divided by (magnitude a times magnitude b)= ( |a * b|)/(|a| |b|)

יש להשתמש בערך מוחלט למכפלת הנקודות

פתרון

חשב את הזווית Alfa

מה עושים

חשב את ארקקוסינוס של הערך שמצאת

למה

מתקבלת הזווית בין הוקטורים במעלות

Alfa = arccos(4/שורש 65) ≈ 60.25 מעלות

תשובה

זווית בין הוקטורים

מה עושים

הצג את התוצאה

למה

סיכום התרגיל

הזווית בין הוקטורים היא כ-60.25 מעלות

פתרונות כלליים

חשב את שיפוע הקו בין שתי נקודות: m = (6 - 3) / (5 - 2) = 3/3 = 1
חשב את זווית הקו עם ציר X: שיפוע m = 1 זווית Alfa = arctg(1) = 45 מעלות
מצא את הזווית בין שני וקטורים: מכפלת נקודתית: 2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4 אורך A = שורש(2^2 + 3^2) = שורש(13) אורך B = שורש(1^2 + (-2)^2) = שורש(5) cos Alfa = |-4| / (שורש 13 * שורש 5) = 4 / שורש 65 Alfa = arccos(4/שורש 65) ≈ 60.25 מעלות

הפריט הקודם הפריט הבא

ג10. חזרות ושילובים

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא זווית Alfa בין הוקטורים A ו-B

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

הכנס את הערכים לנוסחה cos Alfa = |a·b| / (|a|*|b|)

חשב |A| ו-|B|

חשב את ארקקוסינוס של הערך שמצאת

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדר וקטורים A ו-B

חשב מכפלה סקלרית

חשב גדלי וקטורים

חשב קוסינוס הזווית

חשב את הזווית Alfa

זווית בין הוקטורים

פתרונות כלליים