שיעור זה דן בהבנת משוואות סתומות ופונקציות סתומות דרך דוגמת המעגל הקנוני בצורה אנליטית, כולל ניתוח שורש ורדיוסים, וכן הבנת משיק ומשקעים בנקודות על המעגל.
להבין מהי משוואה סתומה ופונקציה סתומה.
לזהות משוואת מעגל קנוני ופרשנותה בגראפית ואנליטית.
להפיק משוואות אנליטיות מפונקציות סתומות ולהבין את המשמעות שלהן.
ליישם נגזרות למציאת נקודות קיצון ושיפועים על מעגלים.
לדעת לגרור קווים משיקים ולהבין התנהגות בהתקרבות לנקודות קריטיות.
הכרת המשוואה הקנונית של המעגל: המשוואה X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה ל-9 מייצגת מעגל במישור עם מרכז בראשית ורדיוס 3.
משוואות סתומות ופונקציות סתומות: כאשר לא ניתן לבודד משתנה אחד באופן מפורש כתלות בשני, מדובר במשוואה סתומה. פונקציה מפורשת היא כזו שבה מוצאים Y כפונקציה מפורשת של X.
ניתוח מעגל עם שורשים ושיפועים: באמצעות פעולות אלגבריות, יוצאים משורשים, ואז בניתוח נגזרות ניתן למצוא נקודות קיצון ושיפועי המשיקים במעגל.

תרגול קצר

זיהוי המשוואה של המעגל

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה משוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה ל-9. איזה צורה מייצגת משוואה זו?

מעגלמשוואה קנוניתמעגל קנוני

רמז: חשבו על הגדרת מעגל במישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: מעגל מרכזו בראשית ורדיוסו 3

משוואה זו מתארת מעגל במישור עם מרכז בראשית הצירים ורדיוס 3.

פירוק y בריבוע ממשוואת המעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

מבין המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה ל-9, ביטאו את y בריבוע כפונקציה של x.

משוואהפונקציה סתומהמעגל

רמז: העבירו את x בריבוע לצד השני של המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: y^2 = 9 - x^2

y בריבוע שווה ל-9 פחות x בריבוע, כלומר y^2=9-x^2.

חישוב שיפוע המשיק במעגל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השיפוע של הקו המשיק למעגל x^2 + y^2 = 9 בנקודה שבה x = 2.999 ו-y > 0.

נגזרתמשיקמעגלשיפוע

רמז: מצאו את הנגזרת של y לפי x והציבו את הערך המתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: השיפוע המשיק הוא כ- -12

dy/dx = -x / sqrt(9 - x^2). הצבה של x=2.999 תיתן שיפוע קרוב ל- -12.

מסלול חישוב משוואת מעגל וניתוח שיפועים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה המשוואה של המעגל x^2 + y^2 = 9. חלק א': הביעו את y כפונקציה של x. חלק ב': חשבו על השיפוע של המשיק לנקודה שבה x=0 ו-y=3. חלק ג': הסבירו מדוע השיפוע נקודת x=3 אינו מוגדר.

מעגלנגזרתשיפועמשוואה סתומה

רמז: א. העבירו x בריבוע לצד השני. ב. חשבו נגזרת ופשטו. ג. התייחסו לערכי תחום y ומגבלות המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. y= ± שורש(9 - x^2) ב. שיפוע = 0 ג. השיפוע אינו מוגדר בנקודה x=3 כי הנגזרת מחלקת באפס.

א. y= ± שורש(9 - x^2). ב. בנקודה (0,3) השיפוע הוא 0. ג. בנקודה x=3 השורש שווה ל-0, השיפוע נעשה בלתי מוגדר בגלל מחלק באפס (שורש אפס).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך לנתח משוואת מעגל קנוני

צעד אחר צעד לפתרון ופישוט משוואת המעגל x^2 + y^2 = 9

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ביטוי עבור y כפונקציה של x / חישוב שיפועים במשוואה
נתון 1
נתון 1
x^2 + y^2 = 9
רעיון
הרעיון המרכזי
להעביר מונחים לצד אחד, לבצע שורש כדי לקבל y, לציין שיש שתי אפשרויות (פלוס ומינוס), לחשב נגזרת
נוסחה
קיבלת את המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה ל-9.
x^2 + y^2 = 9x^(2) + y^(2) = 9
משוואה
קבל את y על ידי לקיחת שורש מכל הצדדים עם סימן פלוס ומינוס.
קבל את y על ידי לקיחת שורש מכל הצדדים עם סימן פלוס ומינוס.
y = plus or minus sqrt(9 - x^2)y = ± sqrt(9 - x^2)y = 9 - x^(2)
פישוט
נגזר y לקבלת שיפוע המשיק בנקודה נבחרת.
נגזר y לקבלת שיפוע המשיק בנקודה נבחרת.
dy/dx = -x / sqrt(9 - x^2)(dy)/(dx) = (-x)/(9 - x^(2))
תוצאה
מסיימים בתשובה
הציבו לדוגמה x=2.999 וחישבו את השיפוע.
בדיקה
בדיקה קצרה
- השוו בין פונקציה מפורשת לסתומה.
- זיהוי תחום הגדרה תקין אחרי הוצאת שורש.
- זהירות: לנסות לבודד y כפונקציה חד ערכית במקום לפנות לפונקציה סתומה (פלוס ומינוס).

פתרונות כלליים

זיהוי המשוואה של המעגל: משוואה זו מתארת מעגל במישור עם מרכז בראשית הצירים ורדיוס 3.
פירוק y בריבוע ממשוואת המעגל: y בריבוע שווה ל-9 פחות x בריבוע, כלומר y^2=9-x^2.
חישוב שיפוע המשיק במעגל: dy/dx = -x / sqrt(9 - x^2). הצבה של x=2.999 תיתן שיפוע קרוב ל- -12.
מסלול חישוב משוואת מעגל וניתוח שיפועים: א. y= ± שורש(9 - x^2). ב. בנקודה (0,3) השיפוע הוא 0. ג. בנקודה x=3 השורש שווה ל-0, השיפוע נעשה בלתי מוגדר בגלל מחלק באפס (שורש אפס).

הפריט הקודם הפריט הבא

ג13. חזרות ושילובים אנליטית חדוא פונקציות

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ביטוי עבור y כפונקציה של x / חישוב שיפועים במשוואה

נתון 1

הרעיון המרכזי

קיבלת את המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה ל-9.

קבל את y על ידי לקיחת שורש מכל הצדדים עם סימן פלוס ומינוס.

נגזר y לקבלת שיפוע המשיק בנקודה נבחרת.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

המשוואה הקנונית נתונה

בעיית בידוד y במשוואה

הוצאת שורש לקבלת y

חשב את הנגזרת של y לפי x

הצבת ערכים לחישוב שיפוע

פתרונות כלליים