השיעור מסביר גישה אנליטית לניתוח אליפסה באמצעות חיתוכים עם צירים, בידוד משתנה, תחומי הגדרה, נגזרות ונקודות קיצון. נלמד איך לשרטט את האליפסה ולהבין את תכונותיה דרך פונקציות וגרפים.
להבין כיצד לנתח אליפסה באמצעות משוואות ופונקציות
לבודד משתנה במשוואת האליפסה
לחשב תחומי הגדרה של פונקציות
למצוא נקודות קיצון באמצעות נגזרת
לשרטט אליפסה באמצעות ניתוח פונקציות
להבין את החשיבות של גישה אנליטית בפונקציות חד-ערכיות
הכרת האליפסה והחיתוכים עם הצירים: מתחילים ממציאת חיתוכים של האליפסה עם צירי X ו-Y כדי לאפיין נקודות מפתח לגרף.
בידוד המשתנה y במשוואת האליפסה: בודדים את y לקבלת פונקציה חד-ערכית להצגת האליפסה כגרף פונקציה יחידה.
חישוב תחום ההגדרה ונקודות קיצון: מחשבים את תחום ההגדרה של הפונקציה ונקודות הקיצון באמצעות נגזרת.

תרגול קצר

ניסוי חיתוך אליפסה עם צירים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה האליפסה (x^2)/16 + (y^2)/9 = 1. חשבו את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-X וציר ה-Y.

אליפסהחיתוך ציריםיסודות

רמז: נציב x=0 למציאת חיתוך עם ציר ה-Y, וy=0 למציאת חיתוך עם ציר ה-X.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך הן (0,3),(0,-3),(4,0),(-4,0)

כש-x=0 נקבל (y^2)/9 = 1 ⇒ y^2 = 9 ⇒ y = ±3. לכן נקודות החיתוך עם ציר ה-Y הן (0,3) ו-(0,-3). כש-y=0 נקבל (x^2)/16 = 1 ⇒ x^2=16 ⇒ x = ±4. לכן נקודות החיתוך עם ציר ה-X הן (4,0) ו-(-4,0).

בידוד y ואפיון הפונקציה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בודדו את y במשוואת האליפסה (x^2)/16 + (y^2)/9 = 1 והסבירו את תחום ההגדרה של הפונקציה y=f(x).

אליפסהפונקציותתחום הגדרה

רמז: בודדים y מריבוע ומשתמשים בשורש, זכרו לשקול את סימני הפןוס והמינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = ± 3/4 × √(16 - x^2), תחום ההגדרה |x| ≤ 4

מבודדים y בריבוע: (y^2)/9 = 1 - (x^2)/16 ⇒ y^2 = 9(1 - x^2/16) = 9 - (9x^2)/16. לכן y = ± 3/4 × √(16 - x^2). תחום ההגדרה הוא כל x עבורו הביטוי תחת השורש חיובי או אפס, כלומר |x| ≤ 4.

מציאת נקודות קיצון וניתוח פונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצאו את הנגזרת של הפונקציה y = 3/4 × √(16 - x^2) בתחום ההגדרה, ומצאו את נקודות הקיצון שלה.

נגזרותנקודות קיצוןפונקציות

רמז: השתמשו בכלל השרשרת לנגזרת שורש. זכרו שבדיקת אפס הנגזרת עוזרת לוודא נקודות קיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = -3x/(4√(16 - x^2)), נקודת קיצון ב-x=0

y = 3/4 × (16 - x^2)^{1/2} ⇒ y' = 3/4 × (1/2)(16 - x^2)^{-1/2} × (-2x) = -3x/(4√(16 - x^2)). מאפסים: y' = 0 → -3x/(4√(16 - x^2))=0 → x=0. ערך זה בתחום ההגדרה. כן, x=0 נותן נקודת קיצון (נקודת מקסימום).

ניתוח גרפי של אליפסה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן האליפסה (x^2)/16+(y^2)/9=1, הציגו כיצד ניתן לשרטט את הגרף שלה באמצעות פירוק למשוואות רגילות של פונקציה y=f(x) וy=-f(x). פרטו את תחום ההגדרה והנקודות החשובות לשרטוט.

בגרותגרפיםאליפסה

רמז: בודדו y, כתבו את שני הענפים, זכרו תחום הגדרה ומצאו נקודות קיצון בעיקר באזור x=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: גרף האליפסה מורכב מיין y=3/4 × √(16 - x^2) וy=-3/4 × √(16 - x^2) בטווח x 4- עד 4 עם נקודות קצה ויוצרת אליפסה.

בודדים y: y= ±3/4 × √(16 - x^2). תחום ההגדרה |x| ≤4. נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן (±4,0), עם ציר ה-y הן (0,±3). הנקודה x=0 היא נקודת מקסימום y=3. שני הענפים יוצרים יחד את האליפסה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

שרטוט אליפסה מבודדת Y

ניתוח פונקציה y=±3/4√(16-x²) כדי לשרטט את האליפסה

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לבודד y / למצוא תחום הגדרה של y כפונקציה של x
נתון 1
נתון 1
משוואת אליפסה: (x²)/16 + (y²)/9 = 1
רעיון
הרעיון המרכזי
בודדים y מריבוע ומשתמשים בהגבלת תחום ההגדרה עבור ביטוי תחת השורש כדי להגדיר פונקציה חוקית.
נוסחה
לנתח את הביטוי תחת השורש להיות לא שלילי
|x| ≤ 4
משוואה
מתחילים ממשוואת האליפסה הנתונה
מתחילים ממשוואת האליפסה הנתונה
פישוט
מכפילים ב-9 ומבודדים y
מכפילים ב-9 ומבודדים y
y בריבוע = 9 - (9/16) כפול x בריבוע
תוצאה
מסיימים בתשובה
y = ± 3/4 × √(16 - x²)
y = ± 3/4 × √(16 - x²)y = (3)/(4) 16 - x^2
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנתי כיצד לבודד y במשוואת האליפסה
- זיהיתי את שני ענפי הפונקציה (פלוס ומינוס)
- זהירות: שכחת לקחת גם את השורש השלילי y = - ...

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

משוואת אליפסה נתונה

מה עושים

מתחילים ממשוואת האליפסה הנתונה

למה

כדי לעבד את המשוואה ולהבין את הגרף לקראת בידוד y

המשוואה היא (x²)/16 + (y²)/9 = 1

בחירת שיטה

בודדים y מריבוע

מה עושים

מעבירים את איבר x לצד השני ומשארים את y מבודד בריבוע

למה

כדי לקבל פונקציה המבוססת על y

(y²)/9 = 1 - (x²)/16

יש לזכור לצרף פלוס ומינוס של השורש לאחר הבידוד

בניית משוואה

חישוב ערך y

מה עושים

מכפילים ב-9 ומבודדים y

למה

כדי לקבל y כפונקציה של x

y² = 9 - (9x²)/16

נוסחה / הצבה

y בריבוע = 9 - (9/16) כפול x בריבוע

בניית משוואה

שליפת שורש עם סימני פלוס ומינוס

מה עושים

y = ± 3/4 × √(16 - x²)

למה

מדגיש שני ענפי פונקציה לייצוג האליפסה

y = ± 3/4 שורש 16 פחות x בריבוע

נוסחה / הצבה

y = ± 3/4 × √(16 - x²)y = (3)/(4) 16 - x^2

לזכור שפלוס ומינוס מייצגים ענף עליון ותחתון

פתרון

קביעת תחום ההגדרה של x

מה עושים

לנתח את הביטוי תחת השורש להיות לא שלילי

למה

כדי שהפונקציה תהיה ממשית לגמרי

16 - x² ≥ 0 ⇒ |x| ≤ 4

נוסחה / הצבה

|x| ≤ 4

תחום ההגדרה הוא התחום בו האליפסה מוגדרת על ציר x

פתרונות כלליים

ניסוי חיתוך אליפסה עם צירים: כש-x=0 נקבל (y^2)/9 = 1 ⇒ y^2 = 9 ⇒ y = ±3. לכן נקודות החיתוך עם ציר ה-Y הן (0,3) ו-(0,-3). כש-y=0 נקבל (x^2)/16 = 1 ⇒ x^2=16 ⇒ x = ±4. לכן נקודות החיתוך עם ציר ה-X הן (4,0) ו-(-4,0).
בידוד y ואפיון הפונקציה: מבודדים y בריבוע: (y^2)/9 = 1 - (x^2)/16 ⇒ y^2 = 9(1 - x^2/16) = 9 - (9x^2)/16. לכן y = ± 3/4 × √(16 - x^2). תחום ההגדרה הוא כל x עבורו הביטוי תחת השורש חיובי או אפס, כלומר |x| ≤ 4.
מציאת נקודות קיצון וניתוח פונקציה: y = 3/4 × (16 - x^2)^{1/2} ⇒ y' = 3/4 × (1/2)(16 - x^2)^{-1/2} × (-2x) = -3x/(4√(16 - x^2)). מאפסים: y' = 0 → -3x/(4√(16 - x^2))=0 → x=0. ערך זה בתחום ההגדרה. כן, x=0 נותן נקודת קיצון (נקודת מקסימום).
ניתוח גרפי של אליפסה: בודדים y: y= ±3/4 × √(16 - x^2). תחום ההגדרה |x| ≤4. נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן (±4,0), עם ציר ה-y הן (0,±3). הנקודה x=0 היא נקודת מקסימום y=3. שני הענפים יוצרים יחד את האליפסה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג14. חזרות ושילובים אנליטית חדוא פונקציות

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לבודד y / למצוא תחום הגדרה של y כפונקציה של x

נתון 1

הרעיון המרכזי

לנתח את הביטוי תחת השורש להיות לא שלילי

מתחילים ממשוואת האליפסה הנתונה

מכפילים ב-9 ומבודדים y

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

משוואת אליפסה נתונה

בודדים y מריבוע

חישוב ערך y

שליפת שורש עם סימני פלוס ומינוס

קביעת תחום ההגדרה של x

פתרונות כלליים