במהלך השיעור נלמד ניתוח פונקציה y שווה פלוס מינוס 2 שורש x מתוך המשוואה y בריבוע שווה ל-4x, נבצע בדיקת תחום ההגדרה, חישוב נגזרת ראשונה ונגזרת שנייה וננתח את צורת הגרף והכיוון של הפונקציה.
להבין כיצד לגזור פונקציה המכילה שורש
לזהות תחום הגדרה של פונקציות עם שורש
לנתח את סיגנון הגרף לפי נגזרת ראשונה ושנייה
ללמוד את המשמעות הגיאומטרית של נגזרות ושל קמירות
לדעת להשתמש באפליקציות גרפיות לצורך המחשה ושרטוט פונקציות
ניסוח הפונקציה והתחום: תחילה מגדירים את הפונקציה y שווה פלוס מינוס 2 שורש x מתוך הפרבולה y בריבוע שווה ל-4x, ומגלים שתחום ההגדרה הוא x גדול שווה 0 בלבד.
חישוב נגזרת ראשונה: מחשבים נשפט את השיפוע של הפונקציה y שווה 2 שורש x ומקבלים שיפוע חיובי בכל תחום ההגדרה, מה שמראה שהפונקציה עולה.
חישוב נגזרת שנייה והסקת קמירות: חישוב הנגזרת השנייה מראה שהיא שלילית באופן מובהק, מה שמעיד שהגרף קעור כלפי מטה.
שרטוט גרף: משרטטים את שני החלקים של הפונקציה y שווה פלוס מינוס 2 שורש x ומקבלים פרבולה סימטרית וחדה, עם נקודת חיתוך ב-0,0.

תרגול קצר

מציאת הנגזרת הראשונה של y=2 שורש x

רמת קושי: קל

ממתין

מצאו את הנגזרת הראשונה של הפונקציה y=2 שורש x עבור x>0.

נגזרותשורשפונקציות

רמז: זכרו שהנגזרת של שורש x היא 1 חלקי 2 שורש x.

פתרון מלא

תשובה סופית: dy/dx=1/√x

y=2√x=> dy/dx=2 * (1/(2√x))=1/√x

קביעת תחום ההגדרה של y=±2√x

רמת קושי: בינוני

ממתין

קבעו את תחום ההגדרה של הפונקציה y=±2√x.

תחום הגדרהשורש

רמז: חשבו מתי הביטוי בתוך השורש מתקיים כחיובי או אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x≥0

הביטוי בתוך השורש הוא x≥0, לכן תחום ההגדרה הוא x≥0

ניתוח קמירות פונקציה y=2√x

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראו כי הפונקציה y=2√x קעורה כלפי מטה על תחום ההגדרה שלה.

קמירותנגזרת שנייהשרטוט

רמז: חישבו את הנגזרת השנייה ובחנו את סימנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה קעורה כלפי מטה

dy/dx=1/√x; d²y/dx²=-(1/(2x√x))<0 לכל x>0 => קעורה מטה

שרטוט פרבולה y²=4x ושימושה

רמת קושי: בגרות

ממתין

ציירו את הפרבולה y²=4x, הסבירו את תחום ההגדרה, ומה משמעות הגרפים y=2√x ו-y= -2√x.

שרטוטפרבולהפונקציות

רמז: פרבולה סימטרית כלפי ציר ה-x עם תחום הגדרה x≥0.

פתרון מלא

תשובה סופית: הגרף הוא פרבולה עם שני ענפים, תחום ההגדרה x≥0

הגרף כולל שני ענפים: y=2√x (חלק חיובי) ו-y= -2√x (חלק שלילי). תחום ההגדרה x≥0, נקודת חיתוך ב-0,0.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: ניתוח y=2 שורש x

בחינת תחום ההגדרה, נגזרות וצורת הגרף

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / נגזרת ראשונה של הפונקציה / נגזרת שנייה של הפונקציה / כיוון
נתון 1
נתון 1
y=2 שורש x
נתון 2
x הוא מספר ממשי
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב כל אחד מהרכיבים לפי כללי נגזרות פונקציות שורש ונסיק מסקנות על הגרף.
נוסחה
נגזור את הפונקציה y=2√x לקבלת dy/dx.
dy/dx=1/√x
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נגזור שוב את הנגזרת הראשונה להצגת הקמירות.
נגזור שוב את הנגזרת הראשונה להצגת הקמירות.
d²y/dx² = -1/(2x√x)d^2y/dx^2 = -1/(2x√x)
תוצאה
מסיימים בתשובה
השתמשו בתוכנת גרפים לשרטוט y=2√x וכן y=-2√x להצגת הפרבולה המלאה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה והתחום

מה עושים

נתונה הפונקציה y=2√x; תחום ההגדרה הוא x≥0.

למה

שורש ריבועי מוגדר רק עבור x הלא שליליים.

הפונקציה מוגדרת לכל x שהבסיס מתחת לשורש אינו שלילי.

חשוב לזכור תחום הגדרה לפני חישוב נגזרות.

בניית משוואה

נוסחת הנגזרת הראשונה

מה עושים

נגזור את הפונקציה y=2√x לקבלת dy/dx.

למה

הנגזרת נותנת את מהירות השינוי והכיוון של הפונקציה.

הנגזרת של √x היא 1 חלקי 2√x, נכפיל ב-2 לפי כלל השרשרת.

נוסחה / הצבה

dy/dx=1/√x

השתמשו בכלל השרשרת.

פתרון

חישוב הנגזרת השנייה

מה עושים

נגזור שוב את הנגזרת הראשונה להצגת הקמירות.

למה

הנגזרת השנייה מצביעה על האם הפונקציה קעורה או קעורה כלפי מעלה.

נגזרת ראשונה היא 1/√x, נגזרת שנייה היא שלילית לכל x>0.

נוסחה / הצבה

d²y/dx² = -1/(2x√x)d^2y/dx^2 = -1/(2x√x)

שים לב לסימן השלילי.

בחירת שיטה

מסקנות על צורת הגרף

מה עושים

הפונקציה עולה כי הנגזרת חיובית והיא קעורה כלפי מטה עקב נגזרת שנייה שלילית.

למה

מאפיינים אלו מאפשרים לשרטט גרף מדויק ולהבין התנהגות הפונקציה.

הפונקציה מראה 'עלייה' איטית יותר ככל ש-x גדל, כיוון שקמירתה כלפי מטה.

העמיקו את הבנת הקמירות והשיפוע.

תשובה

שרטוט הגרף

מה עושים

השתמשו בתוכנת גרפים לשרטוט y=2√x וכן y=-2√x להצגת הפרבולה המלאה.

למה

שני הענפים מייצגים את שני הפתרונות של המשוואה y²=4x.

הגרף כולל שתי ענפים, עם נקודה ראשית במקור x=0, y=0.

דסמוס כלי טוב להצגה ותרגול.

פתרונות כלליים

מציאת הנגזרת הראשונה של y=2 שורש x: y=2√x=> dy/dx=2 * (1/(2√x))=1/√x
קביעת תחום ההגדרה של y=±2√x: הביטוי בתוך השורש הוא x≥0, לכן תחום ההגדרה הוא x≥0
ניתוח קמירות פונקציה y=2√x: dy/dx=1/√x; d²y/dx²=-(1/(2x√x))<0 לכל x>0 => קעורה מטה
שרטוט פרבולה y²=4x ושימושה: הגרף כולל שני ענפים: y=2√x (חלק חיובי) ו-y= -2√x (חלק שלילי). תחום ההגדרה x≥0, נקודת חיתוך ב-0,0.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג15. חזרות ושילובים אנליטית חדוא פונקציות

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / נגזרת ראשונה של הפונקציה / נגזרת שנייה של הפונקציה / כיוון

נתון 1

x הוא מספר ממשי

הרעיון המרכזי

נגזור את הפונקציה y=2√x לקבלת dy/dx.

נבנה משוואה

נגזור שוב את הנגזרת הראשונה להצגת הקמירות.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה והתחום

נוסחת הנגזרת הראשונה

חישוב הנגזרת השנייה

מסקנות על צורת הגרף

שרטוט הגרף

פתרונות כלליים