למידה על אינטגרל של טנגנס X חלקי קוסינוס רבוע X באמצעות הצבת משתנה וטכניקות חילוק פולינומים.
להבין כיצד ליישם שיטת הצבה באינטגרלים מיוחדים
להכיר את הקשר בין טנגנס לקוסינוס בריבוע במסגרת אינטגרלים
לפתור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות מורכבות באמצעות הצבה
היכרות עם פונקציות הטנגנס והקוסינוס: הבנת הקשר בין הטנגנס והנגזרת שלו הקשורה בקוסינוס בריבוע.
יישום שיטת ההצבה באינטגרל: הצבת טי כתוצאה מטנגנס X ופישוט האינטגרל למשתנה יחיד.
פתרון האינטגרל ופיצוי בחזרה ל-X: חישוב האינטגרל בפשטות והחזרה למשתנה המקורי.

תרגול קצר

אינטגרל של tan x חלקי cos^2 x

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ (tan x) / (cos^2 x) dx באמצעות שיטת ההצבה.

אינטגרלהצבהטנגנסקוסינוס

רמז: הרץ הצבה על tan x והשתמש בנגזרת כדי לפשט את האינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/2 tan^2 x + C

נסמן t=tan x. הנגזרת dt/dx=1/cos^2 x ולכן dx = cos^2 x dt. האינטגרל הופך ל-∫ t dt = t^2 / 2 + C. מחזירים ל-x: חצי tan^2 x + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל (tan x) / (cos^2 x) dx

שיטת ההצבה עם טנגנס וקוסינוס בריבוע

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל
נתון 1
נתון 1
האינטגרל ∫ (tan x) / (cos^2 x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
להיעזר בהצבת המשתנה t = tan x כדי להפוך את האינטגרל לפשוט.
נוסחה
חשב ∫ t dt = t^2 / 2 + C
t^2 / 2 + C(t^2)/(2) + C
משוואה
dt = (1 / cos^2 x) dx ⇒ dx = cos^2 x dt
dt = (1 / cos^2 x) dx ⇒ dx = cos^2 x dt
פישוט
החלף בתוך האינטגרל את tan x ב-t ואת dx ב-cos^2 x dt
החלף בתוך האינטגרל את tan x ב-t ואת dx ב-cos^2 x dt
∫ t dtt dt
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף t בחזרה ל-tan x
1/2 tan^2 x + C(1)/(2) ^2 x + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- תזכור את הנגזרת של טנגנס
- היה בטוח להחליף את המשתנים נכון
- זהירות: שכחת להוסיף את קבוע האינטגרציה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון פונקציית האינטגרל

מה עושים

קבל את הביטוי ∫ (tan x) / (cos^2 x) dx

למה

זיהוי הפונקציה שבה נחשב את האינטגרל

האינטגרל מורכב מטנגנס בחלקי קוסינוס בריבוע.

בחירת שיטה

הצבת המשתנה t = tan x

מה עושים

הגדיר t להיות tan x

למה

לנצל את הקשר בין נגזרת tan x ל-1/cos^2 x

מכיוון שנגזרת tan x היא 1/cos^2 x, אפשר להחליף במשתנה t.

החלפה מביאה לפישוט משמעותי.

בניית משוואה

כתוב את dx באמצעות dt

מה עושים

dt = (1 / cos^2 x) dx ⇒ dx = cos^2 x dt

למה

כדי להמיר את dx למשתנה החדש t

הקשר בין dx ל-dt עוזר להמיר את האינטגרל.

פתרון

החלפת הביטוי באינטגרל

מה עושים

החלף בתוך האינטגרל את tan x ב-t ואת dx ב-cos^2 x dt

למה

ליצור אינטגרל לפי t בלבד

האינטגרל הופך ∫ t dt

נוסחה / הצבה

∫ t dtt dt

האינטגרל פשוט מאוד עם הצבה.

פתרון

חשב את האינטגרל הפשוט

מה עושים

חשב ∫ t dt = t^2 / 2 + C

למה

האינטגרל של t מבחינת t

זוהי נוסחה בסיסית לאינטגרלים פולינומיים פשוטים.

נוסחה / הצבה

t^2 / 2 + C(t^2)/(2) + C

תשובה

החזר את התוצאה למשתנה המקורי

מה עושים

החלף t בחזרה ל-tan x

למה

הפתרון צריך להיות בפונקציה המקורית x

התוצאה הסופית היא 1/2 tan^2 x + C.

נוסחה / הצבה

1/2 tan^2 x + C(1)/(2) ^2 x + C

זכור להוסיף קבוע אינטגרציה.

פתרונות כלליים

אינטגרל של tan x חלקי cos^2 x: נסמן t=tan x. הנגזרת dt/dx=1/cos^2 x ולכן dx = cos^2 x dt. האינטגרל הופך ל-∫ t dt = t^2 / 2 + C. מחזירים ל-x: חצי tan^2 x + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל

נתון 1

הרעיון המרכזי

חשב ∫ t dt = t^2 / 2 + C

dt = (1 / cos^2 x) dx ⇒ dx = cos^2 x dt

החלף בתוך האינטגרל את tan x ב-t ואת dx ב-cos^2 x dt

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתון פונקציית האינטגרל

הצבת המשתנה t = tan x

כתוב את dx באמצעות dt

החלפת הביטוי באינטגרל

חשב את האינטגרל הפשוט

החזר את התוצאה למשתנה המקורי

פתרונות כלליים