וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
א13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בשימוש בשיטת ההצבה לחישוב אינטגרלים מיוחדים, עם התמקדות בהצבה בטבעות טריגונומטריות כמו סינוס וקוסינוס. דוגמא לפרטים וחשיבה על זהויות טריגונומטריות להמחשת קבלת פתרונות זהים בצורות שונות.
- להבין ולהשתמש בשיטת הצבה לחישוב אינטגרלים
- להחליף ביטויים טריגונומטריים להצבה נוחה יותר
- להזין ולהפשט אינטגרלים עם חזקות של פונקציות טריגונומטריות
- להבין את חשיבות המשוואות הנגזרות השלמות
- להכיר מושגים של זהויות טריגונומטריות להסתכלות אלטרנטיבית על ביטויי אינטגרלים
- הצבה של ביטויי סינוס וקוסינוס: המרת פונקציות סינוס לקבוע T והצבה במקום X לשם פישוט האינטגרל.
- חישוב אינטגרל בטור חזקות: אינטגרל של חזקת מינוס של T מחושב ומתמיר בחזרה לסינוס של x תוך שינוי של המקדמים.
- בדיקת זהות והבנת פתרונות שונים: הצגת הבעייתיות עם הביטוי הקודם לעומת ביטויים אלטרנטיביים והמחשה שאין צורך תמיד להסתבך בשיוך זהויות מסובכות.
תרגול קצר
אינטגרל של T בחזקת -3
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל ∫ t^(-3) dt
רמז: השתמש בכלל החזקה: אינטגרל של t בחזקת m שווה t בחזקת m+1 חלקי m+1
פתרון מלא
תשובה סופית: -1/2 t^{-2} + C
∫ t^-3 dt = t^(-2)/(-2) + C = -1/2 t^(-2) + C
המרת אינטגרל בפונקציות טריגונומטריות
רמת קושי: בינוני
חשב את האינטגרל ∫ (cos x)/(sin x)^3 dx על ידי הצבה
רמז: קבע t = sin x, חשב dt ואז המר את האינטגרל עבור t
פתרון מלא
תשובה סופית: -1/2 (sin x)^{-2} + C
t = sin x, dt = cos x dx, ולכן ∫ (cos x)/(sin x)^3 dx = ∫ 1/t^3 dt = -1/2 t^{-2} + C = -1/2 (sin x)^{-2} + C
דרך הפתרון
פתרון אינטגרל באמצעות הצבת סינוס
תרשים זרימה לחישוב אינטגרל בטכניקת הצבה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך האינטגרל המסומן
- נתון 1
נתון 1
האינטגרל ∫ (cos x)/(sin x)^3 dx - רעיון
הרעיון המרכזי
נציב t = sin x להמרת האינטגרל לפונקציה של t ונחשב אינטגרל פשוט יותר.
- נוסחה
∫ t^-3 dt = -1/2 t^-2 + C
אינטגרל של t בחזקת m הוא t בחזקת m + 1 חלקי m + 1 ועוד C∫ t^m dt = t^(m+1)/(m+1) + Ct^(m) dt = (t^(m+1))/(m+1) + C - משוואה
נקבע t = sin x
נקבע t = sin x
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
החליפו את t חזרה ב- sin x: -1/2 (sin x)^-2 + C
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הגדרת הצבה מתאימה
- החלפה נכונה של נגזרת
- זהירות: שכיחה של ציון הנגזרת הפנימית בעת הצבה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הצבה
זיהוי נתונים
הגדרת הצבה
מה עושים
נקבע t = sin x
למה
זה פישוט המאפשר להמיר את האינטגרל לפונקציה פשוטה יותר של t
מחליפים את סינוס x ב- t כדי לכתוב ביטוי פשוט יותר
בחר הצבה שמקלה על האינטגרל
2בחירת שיטה
הפחתת הנגזרת
בחירת שיטה
הפחתת הנגזרת
מה עושים
מחושבת הנגזרת dt = cos x dx
למה
הנגזרות מאפשרות להחליף את dx בביטוי של dt לשם פישוט
נגזרת הסינוס היא קוסינוס, ולכן dt שווה cos x dx
חשוב לזכור להחליף את dx בעת הצבה
3בניית משוואה
המרת האינטגרל
בניית משוואה
המרת האינטגרל
מה עושים
המירו את אינטגרל x לאינטגרל של t: ∫ (cos x)/(sin x)^3 dx = ∫ 1/t^3 dt
למה
החלפנו את כל הביטויים ל-t כדי לקבל אינטגרל בחזקות פשוטות
הביטוי כעת פשוט יותר ומוכן לאינטגרציה
הביטוי צריך להיות במשתנה אחד בלבד
4פתרון
חישוב אינטגרל החזקה
פתרון
חישוב אינטגרל החזקה
מה עושים
∫ t^-3 dt = -1/2 t^-2 + C
למה
אינטגרל טור החזקה פשוט לביצוע עם הכלל המתמטי
חישוב אינטגרל לפי חוק החזקה
נוסחה / הצבה
אינטגרל של t בחזקת m הוא t בחזקת m + 1 חלקי m + 1 ועוד C∫ t^m dt = t^(m+1)/(m+1) + Ct^(m) dt = (t^(m+1))/(m+1) + Cשימו לב ש-m לא שווה ל- -1
5תשובה
החזרת התוצאה ל-x
תשובה
החזרת התוצאה ל-x
מה עושים
החליפו את t חזרה ב- sin x: -1/2 (sin x)^-2 + C
למה
כדי להביע את הפתרון בשפה המקורית של המשתנה x
הפתרון הסופי כתוב במונחי הפונקציה ההתחלתית
אין לשכוח להחזיר את הצבת המשתנה
פתרונות כלליים
- אינטגרל של T בחזקת -3: ∫ t^-3 dt = t^(-2)/(-2) + C = -1/2 t^(-2) + C
- המרת אינטגרל בפונקציות טריגונומטריות: t = sin x, dt = cos x dx, ולכן ∫ (cos x)/(sin x)^3 dx = ∫ 1/t^3 dt = -1/2 t^{-2} + C = -1/2 (sin x)^{-2} + C