וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
א14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר על חישוב אינטגרלים באמצעות שיטת ההצבה, עם דגש על החשיבות של הצבה בסוף התהליך והימנעות מהצבה מוקדמת.
- להבין את שיטת ההצבה באינטגרלים
- לזהות מתי להשתמש בשיטת ההצבה
- ללמוד כיצד לבצע את הצבה נכונה לאחר אינטגרציה
- להימנע מטעויות נפוצות במהלך חישוב אינטגרלים בשיטת ההצבה
- הקדמה ושיטת ההצבה: הסבר כללי על שיטת ההצבה באינטגרלים, כאשר מחליפים ביטוי מורכב במשתנה זמני t ומחשבים את האינטגרל בצורה פשוטה יותר.
- טעויות נפוצות: טעויות נפוצות בשיטת ההצבה הן הצבה מוקדמת מדי של הפונקציה לפני ביצוע האינטגרל, מה שמקשה על החישוב.
תרגול קצר
אינטגרל בשיטת ההצבה של פונקציה מתחת לשורש
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל ∫ 1 חלקי sqrt(3x^2 + 2x + 3) dx באמצעות שיטת ההצבה.
רמז: הצטרך להגדיר t = 3x^2 + 2x + 3, ואז לחשב dt ולהחליף במשתנה t.
פתרון מלא
תשובה סופית: ln(3x^2 + 2x + 3) + C
נגדיר t = 3x^2 + 2x + 3, ואז dt = (6x + 2) dx. כדי להחליף dx, נבודד dx = dt / (6x + 2). אבל מכיוון שבלינוס יש אינטגרל על 1/t dt נבצע הצבה כזו שתאפשר זאת. האינטגרל לאחר ההחלפה הוא ∫ 1/t dt = ln |t| + C אז התשובה היא ln |3x^2 + 2x + 3| + C. מכיוון שהביטוי מתחת לשורש חיובי תמיד, אין צורך בערך מוחלט.
דרך הפתרון
פתרון אינטגרל בשיטת ההצבה
אינטגרל של פונקציה תחת שורש מעריכי
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך האינטגרל באמצעות שיטת הצבה
- נתון 1
האינטגרל ∫ 1 / sqrt(3x² + 2x + 3) dx
- רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות פונקציה פנימית f(x), להציב t=f(x), לחלץ dt ואז לבצע את האינטגרל פשוט יותר ב-t ולהחזיר ל-x
- נוסחה
נגדיר t=3x² + 2x + 3 כדי לפשט את הביטוי תחת השורש.
t = 3x^2 + 2x + 3t = 3x^(2) + 2x + 3 - משוואה
נבודד dx ונחליף באינטגרל במקום x במשתנים של t ו-dt.
נבודד dx ונחליף באינטגרל במקום x במשתנים של t ו-dt.
dx = dt / (6x + 2)dx = (dt)/(6x + 2) - פישוט
האינטגרל הופך להיות ∫ 1/t dt, שידוע שפתרונו הוא ln |t| + C.
האינטגרל הופך להיות ∫ 1/t dt, שידוע שפתרונו הוא ln |t| + C.
integral 1/t dt = ln|t| + C∫ 1/t dt = ln |t| + C - תוצאה
מסיימים בתשובה
מחזירים את t לפונקציה המקורית ומקבלים ln (3x² + 2x + 3) + C.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- וידוא הגדרת t נכונה
- הבנת חישוב dt
- זהירות: הצבה של t בזמן לא נכון במהלך החישוב
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת המשתנה t
זיהוי נתונים
הגדרת המשתנה t
מה עושים
נגדיר t=3x² + 2x + 3 כדי לפשט את הביטוי תחת השורש.
למה
פונקציה פנימית מסובכת הופכת למשתנה אחד פשוט.
נוסחה / הצבה
t = 3x^2 + 2x + 3t = 3x^(2) + 2x + 3זכרו שתמיד מגדירים את הביטוי המסובך כ-t.
2בחירת שיטה
חישוב הנגזרת dt
בחירת שיטה
חישוב הנגזרת dt
מה עושים
נחשב dt = f'(x) dx, כאשר f'(x) = נגזרת של t לפי x.
למה
כדי להמיר את dx למשתנה חדש ולהפוך את האינטגרל לפשוט.
נוסחה / הצבה
dt = (6x + 2) dxאל תשכחו לחלץ את dx לפי dt.
3בניית משוואה
החלפת dx לבין t
בניית משוואה
החלפת dx לבין t
מה עושים
נבודד dx ונחליף באינטגרל במקום x במשתנים של t ו-dt.
למה
להפוך את האינטגרל למופשט וקל לביצוע.
נוסחה / הצבה
dx = dt / (6x + 2)dx = (dt)/(6x + 2)זקוק לבחור ביטוי שיבטיח שיתאים לאינטגרל של 1/t.
4פתרון
חישוב האינטגרל ב-t
פתרון
חישוב האינטגרל ב-t
מה עושים
האינטגרל הופך להיות ∫ 1/t dt, שידוע שפתרונו הוא ln |t| + C.
למה
זהו האינטגרל הסטנדרטי ללוגריתם טבעי.
נוסחה / הצבה
integral 1/t dt = ln|t| + C∫ 1/t dt = ln |t| + C(1)/(t) dt = |t| + Cשימוש בנוסחאות אינטגרל בסיסיות.
5תשובה
חזרה ל-x והצבה
תשובה
חזרה ל-x והצבה
מה עושים
מחזירים את t לפונקציה המקורית ומקבלים ln (3x² + 2x + 3) + C.
למה
כי המטרה היא ביטוי כתוב במשתנה x.
כיוון שהביטוי תחת השורש חיובי תמיד, אפשר להסיר את הערך המוחלט.
פתרונות כלליים
- אינטגרל בשיטת ההצבה של פונקציה מתחת לשורש: נגדיר t = 3x^2 + 2x + 3, ואז dt = (6x + 2) dx. כדי להחליף dx, נבודד dx = dt / (6x + 2). אבל מכיוון שבלינוס יש אינטגרל על 1/t dt נבצע הצבה כזו שתאפשר זאת. האינטגרל לאחר ההחלפה הוא ∫ 1/t dt = ln |t| + C אז התשובה היא ln |3x^2 + 2x + 3| + C. מכיוון שהביטוי מתחת לשורש חיובי תמיד, אין צורך בערך מוחלט.