וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א6. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א9. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים
א10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
אינטגרל של פונקציה בחזקות עם הצבה
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל של x בריבוע כפול אינטגרל של x בחזקת 3 באמצעות שיטת ההצבה.
רמז: סמן T = x בשלישית, גזור כדי לקבל dT, וכתוב את dx בהתאם כדי לבצע החלפה מלאה.
תשובה סופית: (1/3) x^3 + C
1. נגדיר T = x^3 2. נגזור: dT = 3x^2 dx 3. נבודד את x^2 dx: x^2 dx = (1/3) dT 4. נחליף באינטגרל: ∫ x^2 dx = ∫ (1/3) dT = (1/3) ∫ dT 5. נחבר חזקות ונחשב את האינטגרל: (1/3) T + C 6. נשוב למשתנה x: (1/3) x^3 + C
החלפת משתנה לפישוט אינטגרל של פונקציה פולינומיאלית
T = x בשלישיתdT = 3x בריבוע dxהחלף את המשתנה מ־x ל־T באמצעות פעולת דיפרנציאל, וחשב את האינטגרל הפשוט יותר.
dT = 3 x^2 dxdT = 3x^2 dxdT = 3x^(2) dxנכתוב את האינטגרל כמו ∫ x^2 dx = ∫ (1/3) dT.
נחשב ∫ (1/3) dT = (1/3) T + C.
נחליף את T חזרה ל־x בשלישית לקבלת (1/3) x בשלישית + C.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נגדיר T = x בשלישית להחלפת המשתנה.
למה
טשטוש המשתנה x לפונקציה חדשה מפשט את האינטגרל.
T מוגדר כפונקציה של x בחזקת 3.
זיהוי נתונים
מה עושים
נגזור את T לפי x ונקבל dT = 3x בריבוע dx.
למה
חישוב הדיפרנציאל מאפשר להחליף את dx במשתנה T.
dT הוא נגזרת T כפול dx.
נוסחה / הצבה
dT = 3 x^2 dxdT = 3x^2 dxdT = 3x^(2) dxבחירת שיטה
מה עושים
נבודד את הביטוי x בריבוע dx = (1/3) dT.
למה
כך נקבל ביטוי פשוט להחלפה באינטגרל.
בודדים את ה־dx והכפל מהמשוואה.
בניית משוואה
מה עושים
נכתוב את האינטגרל כמו ∫ x^2 dx = ∫ (1/3) dT.
למה
כעת האינטגרל שקול למשוואה פשוטה יותר עם T.
כתיבת האינטגרל מחדש למשתנה T.
פתרון
מה עושים
נחשב ∫ (1/3) dT = (1/3) T + C.
למה
האינטגרל של dT הוא פשוט וברור.
תוצאת האינטגרל בפורמט פשוט.
בדיקה
מה עושים
נחליף את T חזרה ל־x בשלישית לקבלת (1/3) x בשלישית + C.
למה
כדי לקבל פתרון בסוגריים המקוריים של הבעיה.
החזרה למשתנה המקורי.