השיעור עוסק בחישוב אינטגרלים המכילים חזקות של קוסינוס וסינוס באמצעות שיטת ההצבה, בעיקר עיבוד אינטגרלים עם פונקציות טריגונומטריות וחיטוב הפונקציות על ידי הצבה ונגזרות.
להבין את שיטת ההצבה לאינטגרלים מיוחדים
להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות להמרת חזקות סינוס וקוסינוס
לזהות מתי לבצע הצבה מתאימה כדי לפשט אינטגרלים
לבדוק נכונות פתרון באמצעות גזירת האנטי-נגזרת
הצבת משתנה באינטגרל: הסבר על בחירת משתנה הצבה מתאים, כיצד לנצל את הקשרים בין נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות והאינטגרל הנתון.
פישוט אינטגרל טריגונומטרי גדול מעלה: פירוק חזקות סינוס או קוסינוס לביטויים שמשלבים פונקציות ונגזרותיהן להקל על חישוב האינטגרל.
בדיקת נכונות הפתרון: חלוקת פתרונות ונקיטת צעדים לבדיקת נכונות התוצאה על ידי גזירת הפתרון שהתקבל וההשוואה לשאלה המקורית.

תרגול קצר

אינטגרל של cos בחזקת שלוש כפול sin

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ cos^3(x) sin(x) dx באמצעות שיטת ההצבה.

אינטגרליםשיטת הצבהטריגונומטריה

רמז: עשה הצבה של t=cos(x) והשתמש בנגזרת שלו כדי לפשט את האינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1/4 cos^4(x) + C

נסמן t=cos(x), ולכן dt = -sin(x) dx. מה שאומר ש־sin(x) dx = -dt. לכן האינטגרל משתנה ל־∫ t^3 (-dt) = -∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C = - (cos^4(x) / 4) + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון התרגיל ∫ cos³(x) sin(x) dx

שימוש בשיטת ההצבה לפישוט אינטגרל טריגונומטרי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל
נתון 1
האינטגרל ∫ cos³(x) sin(x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
להגדיר הצבה של t=cos(x) ולבטא את האינטגרל במונחים של t באמצעות נגזרת.
נוסחה
dt = - sin(x) dx ⇒ sin(x) dx = - dt
sin(x) dx = -dt(x) dx = -dt
משוואה
החלף את הביטויים ונקבל ∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ t^3 dt
החלף את הביטויים ונקבל ∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ t^3 dt
- integral t^3 dt- ∫ t^3 dt- t^(3) dt
פישוט
- ∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C
- ∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C
- t^4 /4 + C- (t^(4))/(4) + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
החזר t=cos(x) לתוצאה: -1/4 cos^4(x) + C
-1/4 cos^4(x) + C- (1)/(4) ^(4)(x) + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- הוצאת sin(x) dx ל-dt עם סימן מינוס
- הצבה נכונה של t במקום cos(x)
- זהירות: שכחת להפוך את סימן המינוס בנגזרת

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון האינטגרל המקורי

מה עושים

∫ cos³(x) sin(x) dx

למה

זו צורת האינטגרל הנתונה שיש לפתור

אנו רוצים לחשב את האינטגרל של cos בחזקת שלוש כפול sin.

בחירת שיטה

הגדרת הצבה

מה עושים

הגדר t = cos(x) ונגזור

למה

כדי לפשט את האינטגרל ולהשתמש בנגזרת של t

כאשר t=cos(x), הנגזרת dt/dx היא מינוס sin(x)

בניית משוואה

בטא sin(x) dx בנגזרת t

מה עושים

dt = - sin(x) dx ⇒ sin(x) dx = - dt

למה

להחליף ביטוי מורכב בפשוט יותר לכתיבת אינטגרל במשתנה t

החלפת sin(x) dx בתלוי ב־dt היא מפתח לפישוט

נוסחה / הצבה

sin(x) dx = -dt(x) dx = -dt

שימו לב לסימן המינוס שהופך את הכיוון.

בניית משוואה

הכנס הצבה לאינטגרל

מה עושים

החלף את הביטויים ונקבל ∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ t^3 dt

למה

הפיכת האינטגרל ממשתנה x למשתנה t מאפשרת חישוב פשוט יותר

שינוי המשתנה מבטיח שאינטגרל יהיה פולינומי פשוט.

נוסחה / הצבה

- integral t^3 dt- ∫ t^3 dt- t^(3) dt

פתרון

חשב את האינטגרל במשתנה t

מה עושים

- ∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C

למה

אינטגרל של t בחזקת n הוא t בחזקת n+1 חלקי n+1

ניתן להסיק את הפתרון במפורש לאחר חישוב אינטגרל הפולינום.

נוסחה / הצבה

- t^4 /4 + C- (t^(4))/(4) + C

תשובה

חזור למשתנה המקורי

מה עושים

החזר t=cos(x) לתוצאה: -1/4 cos^4(x) + C

למה

כדי לקבל את הפתרון במונחים של x כפי שנדרש בשאלה

פתרון הסופי מבוסס על ההצבה ההפוכה.

נוסחה / הצבה

-1/4 cos^4(x) + C- (1)/(4) ^(4)(x) + C

פתרונות כלליים

אינטגרל של cos בחזקת שלוש כפול sin: נסמן t=cos(x), ולכן dt = -sin(x) dx. מה שאומר ש־sin(x) dx = -dt. לכן האינטגרל משתנה ל־∫ t^3 (-dt) = -∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C = - (cos^4(x) / 4) + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל

האינטגרל ∫ cos³(x) sin(x) dx

הרעיון המרכזי

dt = - sin(x) dx ⇒ sin(x) dx = - dt

החלף את הביטויים ונקבל ∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ t^3 dt

- ∫ t^3 dt = - (t^4 / 4) + C

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתון האינטגרל המקורי

הגדרת הצבה

בטא sin(x) dx בנגזרת t

הכנס הצבה לאינטגרל

חשב את האינטגרל במשתנה t

חזור למשתנה המקורי

פתרונות כלליים