השיעור מתמקד בשיטת ההצבה באינטגרלים, כולל זיהוי פונקציה ונגזרת, ושימוש נכון בהצבה כדי לפתור אינטגרלים עם פונקציות מורכבות.
לזהות מתי להשתמש בשיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים
להבין כיצד לבחור משתנה הצבה מתאים
לכתוב את ההצבה בצורה נכונה ולפתור את האינטגרל
לאמת את תוצאת האינטגרל בעזרת גזירה של הפונקציה המתקבלת
הקדמה לשיטת ההצבה: הבנת הקשר בין פונקציה לנגזרת שלה כאינדיקציה לשיטת ההצבה.
פתרון אינטגרל בשיטת ההצבה: הצגה של פתרון אינטגרל באמצעות הצבה וחשבון דיפרנציאלי ובדיקת התוצאה באמצעות גזירה.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת משתנה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של f'(x) כפול f(x) על פי שיטת ההצבה.

אינטגרליםשיטת הצבהפונקציות מורכבות

רמז: בחר T = f(x) והחלף משתנים בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/2) [f(x)]^2 + C

בוא נגדיר T = f(x), אז dT = f'(x) dx. לכן, האינטגרל נהפך לאינטגרל של T dT, שהפתרון שלו הוא (1/2) T^2 + C. מחזירים חזרה את T ומהווים את התוצאה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל באמצעות שיטת ההצבה

אינטגרל של נגזרת פונקציה כפול הפונקציה עצמה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את האינטגרל של f'(x) * f(x) dx
נתון 1
f היא פונקציה גזירה
נתון 2
f'(x) נגזרת של f
נתון 3
האינטגרל איננו מובנה ישירות
רעיון
הרעיון המרכזי
הצבע את הפונקציה כמשתנה חדש, כתב אינטגרל חדש במשתנה ההצבה, פתר את האינטגרל ופשט.
נוסחה
חשב אינטגרל של T dT
1/2 * T^2 + C(1/2) T^2 + C(1)/(2) T^2 + C
משוואה
בחר T להיות הפונקציה f(x)
בחר T להיות הפונקציה f(x)
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת משתנה ההצבה

מה עושים

בחר T להיות הפונקציה f(x)

למה

שימוש בפונקציה עצמה כמשתנה הצבה מאפשר פישוט האינטגרל

T = f(x)

בחר את המשתנה שהופך את האינטגרל לפשוט יותר

בחירת שיטה

חשב נגזרת של T

מה עושים

חשב dT

למה

נזדקק ל-dT במקום dx כדי להחליף באינטגרל

dT = f'(x) dx

זכור את כלל השרשרת בדיפרנציאציה

בניית משוואה

החלף את האינטגרל במשתנה T

מה עושים

החלף f'(x) dx ב- dT באינטגרל

למה

מצמצם את האינטגרל למשתנה יחיד פשוט

אינטגרל f'(x) * f(x) dx = אינטגרל T dT

וודא שכל המשתנים מוחלפים נכון

פתרון

חשב אינטגרל פשוט

מה עושים

חשב אינטגרל של T dT

למה

אינטגרל פשוט שמוכר מפורמולות בסיסיות

אינטגרל T dT = (1/2) T^2 + C

נוסחה / הצבה

1/2 * T^2 + C(1/2) T^2 + C(1)/(2) T^2 + C

השתמש בכלל חזקות באינטגרציה

תשובה

החלף חזרה את T ב-f(x)

מה עושים

החלף T חזרה ל-f(x) בתוצאה

למה

נחזיר לתוצאה ביטוי במשתנה המקורי

התוצאה היא (1/2) [f(x)]^2 + C

זכור להוסיף קבוע אינטגרציה

פתרונות כלליים

אינטגרל עם הצבת משתנה פשוטה: בוא נגדיר T = f(x), אז dT = f'(x) dx. לכן, האינטגרל נהפך לאינטגרל של T dT, שהפתרון שלו הוא (1/2) T^2 + C. מחזירים חזרה את T ומהווים את התוצאה.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את האינטגרל של f'(x) * f(x) dx

f היא פונקציה גזירה

f'(x) נגזרת של f

האינטגרל איננו מובנה ישירות

הרעיון המרכזי

חשב אינטגרל של T dT

בחר T להיות הפונקציה f(x)

מפשטים

פתרון מפורט

הגדרת משתנה ההצבה

חשב נגזרת של T

החלף את האינטגרל במשתנה T

חשב אינטגרל פשוט

החלף חזרה את T ב-f(x)

פתרונות כלליים