בשיעור זה נלמד כיצד לבצע אינטגרלים באמצעות שיטת ההצבה, תוך הבנת תהליך הגזירה והחזרת המשתנה המקורי לאחר החישוב. ניתן דגש על הנגזרת וההצבה כנגד משתנה ביניים, ושימוש בשורש להצבה נכונה.
לזהות מתי מתאים להשתמש בשיטת ההצבה באינטגרלים
לכתוב נכון את ההצבה ולהבין את תהליך הגזירה של המשתנה החדש
לשלב את הנגזרת בצורה נכונה כדי להחליף את משתנה האינטגרציה
להחזיר את התוצאה למשתנה המקורי ברגע הסיום
לפחותוך ביטויים פולינומיים באמצעות הצבה ושימוש בנגזרות
שיטת ההצבה בפישוט אינטגרלים: נבחן הצבת משתנה חדש במקום ביטוי מורכב, נבין את הגזירה הנדרשת ואת ההכרח בכתיבת דיפרנציאל בהתאם.
התמודדות עם נגזרות ושלבים בביצוע אינטגרל: לומדים לבצע את הנגזרת לפי T, ולבדוק את הפעולות השונות על מנת לוודא שהכל תקין לפני המשך הפתרון.

תרגול קצר

אינטגרל בסיסי בשיטת ההצבה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של (2x - 4) שורש (x² - 4x) dx באמצעות הצבה.

הצבהאינטגרליםשורשנגזרות

רמז: הגדר T = x² - 4x, חשב dT, החלף באינטגרל ב-T.

פתרון מלא

תשובה סופית: (2/3) (x² - 4x)^(3/2) + C

הגדר T = x² - 4x נגזור לקבל dT/dx = 2x - 4 לכן (2x - 4) dx = dT השורש הופך ל sqrt(T) האינטגרל הוא ∫ sqrt(T) dT חישוב אינטגרל זה: (2/3) T^(3/2) + C חזרה ל-x: (2/3) (x² - 4x)^(3/2) + C

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל באמצעות שיטת הצבה

אינטגרל של ביטוי עם שורש באמצעות הצבה ומתן תשובה במשתנה המקורי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל כפונקציה של x
נתון 1
הפונקציה שבתוכה האינטגרל: (2x - 4) שורש (x² - 4x)
נתון 2
המשתנה x
רעיון
הרעיון המרכזי
הצבת T במקום x² - 4x ופישוט האינטגרל באמצעות נגזרת של T.
נוסחה
מגדירים T = x² - 4x
T = x^2 - 4xT = x^(2) - 4x
משוואה
נגזור T לפי x, נקבל dT/dx = 2x - 4
נגזור T לפי x, נקבל dT/dx = 2x - 4
dT/dx = 2x - 4(dT)/(dx) = 2x - 4
פישוט
מהנגזרת נקבל dx = dT / (2x - 4)
מהנגזרת נקבל dx = dT / (2x - 4)
dx = dT / (2x - 4)dx = (dT)/(2x - 4)
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף T בחזרה ל-x: (2/3)(x² - 4x)^(3/2) + C
(2/3) * (x^2 - 4x)^(3/2) + C(2/3) (x^2 - 4x)^(3/2) + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הצבה

מה עושים

מגדירים T = x² - 4x

למה

כדי לפשט את האינטגרל ולעבוד עם משתנה ביניים פשוט יותר

הורדת המורכבות של הביטוי על ידי החלפתו במשתנה T

נוסחה / הצבה

T = x^2 - 4xT = x^(2) - 4x

בחר ביטוי שמופיע בתוך שורש או חזקות לסימון כמושנה

בניית משוואה

חשב נגזרת dT/dx

מה עושים

נגזור T לפי x, נקבל dT/dx = 2x - 4

למה

למצוא ביטוי לדיפרנציאל של T לצורך החלפה באינטגרל

נגזרת פונקציית T תאפשר להחליף את dx ב-dT

נוסחה / הצבה

dT/dx = 2x - 4(dT)/(dx) = 2x - 4

השתמש בכלל החזקה והחיבור בנגזרות

בניית משוואה

החלף dx ב-dT

מה עושים

מהנגזרת נקבל dx = dT / (2x - 4)

למה

כדי להחליף את dx בתוך האינטגרל ולכתוב הכל ב-T

הכנת האינטגרל לפישוט בעזרת משתנה T

נוסחה / הצבה

dx = dT / (2x - 4)dx = (dT)/(2x - 4)

בודק היטב לא לשכוח את המונה והמכנה

בחירת שיטה

השתמש בהחלפה באינטגרל

מה עושים

החלף את כל הביטויים באינטגרל ב-T וב-dT

למה

לקבל אינטגרל פשוט יותר לפתרון

הפיכת אינטגרל מפונקציה מסובכת לאינטגרל של חזקת T

נוסחה / הצבה

integral (2x - 4) * sqrt(T) dx = integral sqrt(T) dT∫ (2x - 4) sqrt(T) dx = ∫ sqrt(T) dT(2x - 4) T dx = T dT

ניתן לבטל גורמים בחיבור באמצעות ההחלפה

פתרון

חשב אינטגרל פשוט

מה עושים

חשב את ∫ sqrt(T) dT = (2/3) T^(3/2) + C

למה

חישוב אינטגרל מבוסס חזקות פשוטות

השתמש בנוסחת אינטגרל ל-T בחזקה שברית

נוסחה / הצבה

integral T^(1/2) dT = (2/3) * T^(3/2) + C∫ T^(1/2) dT = (2/3) T^(3/2) + CT^((1)/(2)) dT = (2)/(3) T^((3)/(2)) + C

בחזקות של שבר, מוסיפים 1 למעלה ומכפילים במשריין

תשובה

החזר למשתנה המקורי

מה עושים

החלף T בחזרה ל-x: (2/3)(x² - 4x)^(3/2) + C

למה

התשובה צריכה להיות במשתנה x המקורי

סיום הפתרון והבטחת תוצאה ברורה ומלאה

נוסחה / הצבה

(2/3) * (x^2 - 4x)^(3/2) + C(2/3) (x^2 - 4x)^(3/2) + C(2)/(3) (x^(2) - 4x)^((3)/(2)) + C

ודא שכל הביטויים הוחלפו חזרה למשתנה הפרטי

פתרונות כלליים

אינטגרל בסיסי בשיטת ההצבה: הגדר T = x² - 4x נגזור לקבל dT/dx = 2x - 4 לכן (2x - 4) dx = dT השורש הופך ל sqrt(T) האינטגרל הוא ∫ sqrt(T) dT חישוב אינטגרל זה: (2/3) T^(3/2) + C חזרה ל-x: (2/3) (x² - 4x)^(3/2) + C

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל כפונקציה של x

הפונקציה שבתוכה האינטגרל: (2x - 4) שורש (x² - 4x)

המשתנה x

הרעיון המרכזי

מגדירים T = x² - 4x

נגזור T לפי x, נקבל dT/dx = 2x - 4

מהנגזרת נקבל dx = dT / (2x - 4)

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הצבה

חשב נגזרת dT/dx

החלף dx ב-dT

השתמש בהחלפה באינטגרל

חשב אינטגרל פשוט

החזר למשתנה המקורי

פתרונות כלליים