שיעור העוסק במציאת נוסחה לסכום סדרה חשבונית דוגמה מתוך הסדרה 1, 5, 9 והתהליך להסקת נוסחת הסכום והבנה כיצד לבדוק אותה.
לזהות סדרה חשבונית ולנתח את התכונות שלה
לכתוב נוסחה לסכום סדרה חשבונית
להבין כיצד להציב ערכים בנוסחה ולבדוק תוצאות
לתרגל פתרון משוואות ופישוט ביטויים אלגבריים
הצגת הסדרה והבעיה: נתונה סדרה חשבונית 1, 5, 9 ,המטרה היא למצוא נוסחה כללית לסכום האיברים בסדרה.
פיתוח הנוסחה לסכום: באמצעות ניתוח ביטויים אלגבריים ונוסחאות מוכרות, אנו יוצרים ביטוי לסכום הסדרה ואומדים אותו בעזרת פישוט.
בדיקה ואימות: מחשבים את סכום האיברים בסדרה עבור ערכים מספריים שונים לפי הנוסחה המתקבלת ומוודאים שהתוצאה נכונה.

תרגול קצר

מציאת סכום הסדרה ל-3 איברים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה החשבונית 1, 5, 9. חשב את סכום שלושת האיברים הראשונים באמצעות הנוסחה המתאימה.

סדרה חשבוניתסכום סדרהתרגול בסיסי

רמז: אפשר לחשב את סכום שלושת האיברים על ידי הצבה ב-n=3 בנוסחת סכום סדרה חשבונית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 15

הסדרה היא חשבונית עם a1=1 והפרש d=4. האיבר השלישי a3 = a1 + (3-1)*4 = 1 + 8 = 9. סכום 3 האיברים: S = 3/2 (1 + 9) = 3/2 * 10 = 15.

נוסחה לסכום סדרה לפי מספר האיברים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הסדרה 1, 5, 9,... חשב וניסח נוסחה לסכום הסדרה S במספר איברים n.

סדרה חשבוניתנוסחת סכוםבינוני

רמז: השתמש בנוסחת סכום הסדרה החשבונית והבע את האיבר האחרון a_n בעזרת n, a1 והפרש d.

פתרון מלא

תשובה סופית: S = 2n^2 - n

a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3. סכום: S = n/2 (a1 + a_n) = n/2 (1 + 4n - 3) = n/2 (4n - 2) = 2n^2 - n.

הוכחת נכונות נוסחת סכום הסדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

העצם את הנוסחה S = 2n^2 - n והראה כי היא נכונה על ידי הצבת ערכים ובדיקות סכום בעזרת איברים ידניים.

סדרה חשבוניתהוכחהמתקדם

רמז: בדוק סכומים ל-n=1, 2, 3 באופן ידני והשווה לתוצאה של הנוסחה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנוסחה נכונה עבור כל n טבעי

n=1: סכום=1, נוסחה: 2*1^2 -1=1, נכון. n=2: סכום=1+5=6, נוסחה: 2*4 -2=6, נכון. n=3: סכום=1+5+9=15, נוסחה: 2*9 -3=15, נכון.

תרגיל בגרות - סכום סדרה חשבונית

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה החשבונית 1, 5, 9,... מצא נוסחה כללית לסכום n האיברים הראשונים.

בגרותסדרה חשבוניתסכום סדרה

רמז: זכור את נוסחת סכום סדרה חשבונית ואת הדרך לגשת לאיבר הכללי a_n.

פתרון מלא

תשובה סופית: S = 2n^2 - n

הפרש d = 4, a1=1 איבר כללי a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 סכום: S = n/2 (a1 + a_n) = n/2 (1 + 4n -3) = n/2 (4n-2) = 2n^2 - n

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל סכום סדרה חשבונית

סכום סדרה 1,5,9,... כלפי n איברים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נוסחה לסכום S של n איברים ראשונים בסדרה
נתון 1
הסדרה 1, 5, 9,...
נתון 2
נתון 2
a1 = 1 (איבר ראשון)
נתון 3
נתון 3
d = 4 (הפרש בין איברים)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את האיבר הכללי a_n ונציב בנוסחת סכום סדרה חשבונית כדי לקבל נוסחה תלויה ב-n.
נוסחה
נשתמש בנוסחה S = n/2 * (a1 + a_n).
S = n / 2 * (a1 + a_n)S = (n)/(2) (a_1 + a_n)
משוואה
a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 נציב נוסחה ונפשט
a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 נציב נוסחה ונפשט
S = n / 2 * (1 + 4n - 3) = n / 2 * (4n - 2) = 2n^2 - nS = (n)/(2) (1 + 4n -3) = (n)/(2) (4n - 2) = 2n^(2) - n
פישוט
נוסחה מפושטת ואפשרית לחישוב סכום n האיברים הראשונים היא S = 2n^2 - n.
נוסחה מפושטת ואפשרית לחישוב סכום n האיברים הראשונים היא S = 2n^2 - n.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הסדרה

מה עושים

זהה את a1 ואת ההפרש d.

למה

הסדרה חשבונית, ולכן a1 ו-d חיוניים לחישוב.

סדרה חשבונית: כל איבר הוא הקודם בתוספת d.

בחירת שיטה

איבר כללי a_n

מה עושים

נחשב a_n לפי הנוסחה a_n = a1 + (n-1)*d.

למה

משמעות האיבר הכללי: ערך האיבר ה-n בסדרה.

נוסחה / הצבה

a_n = a1 + (n-1) * d

חשוב להגדיר את a_n על מנת להגיד משהו על סכום.

בניית משוואה

נוסחת סכום סדרה

מה עושים

נשתמש בנוסחה S = n/2 * (a1 + a_n).

למה

זו הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית.

נוסחה / הצבה

S = n / 2 * (a1 + a_n)S = (n)/(2) (a_1 + a_n)

הזנת a_n ממילא תיתן נוסחה עם פרמטר n בלבד.

פתרון

הצבת a_n ופישוט

מה עושים

a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 נציב נוסחה ונפשט

למה

כך נקבל נוסחה טהורה ב-n לצורך חישוב סכומים.

נוסחה / הצבה

S = n / 2 * (1 + 4n - 3) = n / 2 * (4n - 2) = 2n^2 - nS = (n)/(2) (1 + 4n -3) = (n)/(2) (4n - 2) = 2n^(2) - n

חשוב לסדר ולפשט ביטויים לקבלת נוסחה ברורה.

תשובה

נוסחת הסכום הכללית

מה עושים

נוסחה מפושטת ואפשרית לחישוב סכום n האיברים הראשונים היא S = 2n^2 - n.

למה

הנוסחה מאפשרת חישוב מהיר של סכום הסדרה עבור כל n.

כעת ניתן להכניס כל n ולקבל את סכום האיברים.

פתרונות כלליים

מציאת סכום הסדרה ל-3 איברים: הסדרה היא חשבונית עם a1=1 והפרש d=4. האיבר השלישי a3 = a1 + (3-1)*4 = 1 + 8 = 9. סכום 3 האיברים: S = 3/2 (1 + 9) = 3/2 * 10 = 15.
נוסחה לסכום סדרה לפי מספר האיברים: a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3. סכום: S = n/2 (a1 + a_n) = n/2 (1 + 4n - 3) = n/2 (4n - 2) = 2n^2 - n.
הוכחת נכונות נוסחת סכום הסדרה: n=1: סכום=1, נוסחה: 2*1^2 -1=1, נכון. n=2: סכום=1+5=6, נוסחה: 2*4 -2=6, נכון. n=3: סכום=1+5+9=15, נוסחה: 2*9 -3=15, נכון.
תרגיל בגרות - סכום סדרה חשבונית: הפרש d = 4, a1=1 איבר כללי a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 סכום: S = n/2 (a1 + a_n) = n/2 (1 + 4n -3) = n/2 (4n-2) = 2n^2 - n

הפריט הקודם הפריט הבא

א15. סדרה חשבונית סכום סדרה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נוסחה לסכום S של n איברים ראשונים בסדרה

הסדרה 1, 5, 9,...

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

נשתמש בנוסחה S = n/2 * (a1 + a_n).

a_n = 1 + (n-1)*4 = 4n - 3 נציב נוסחה ונפשט

נוסחה מפושטת ואפשרית לחישוב סכום n האיברים הראשונים היא S = 2n^2 - n.

פתרון מפורט

נתוני הסדרה

איבר כללי a_n

נוסחת סכום סדרה

הצבת a_n ופישוט

נוסחת הסכום הכללית

פתרונות כלליים