השיעור סוקר זהויות טריגונומטריות חשובות ופונקציות אינטגרל בסיסיות של פונקציות טריגונומטריות. נלמד כיצד להשתמש בזהויות אלו לפתירת אינטגרלים טריגונומטריים תוך הבנה שאין צורך לזכור אינטגרלים אלא להבין נגזרות והקשר ביניהן.
להכיר זהויות טריגונומטריות מרכזיות כמו סינוס 2x, קוסינוס 2x וביטויים נגזרותיהם
לדעת לפתור משוואות טריגונומטריות בסיסיות
להבין כיצד מחשבון עובר בין רדיאנים לדרגות
להבין וליישם אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות
להבין את חשיבות המקדמים בחישוב אינטגרלים של פונקציות עם משתנים כפולים
זהויות טריגונומטריות בסיסיות: הצגת זהויות בסיסיות של פונקציות סינוס וקוסינוס שהן הבסיס לפתרון אינטגרלים ומפשטות פתרונות.
פתרון משוואות טריגונומטריות: דיון בפתרון המשוואות סינוס x = a ו-קוסינוס x = a והמצבים המיוחדים הנלווים אליהם.
אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות: הצגת אינטגרלים בסיסיים של פונקציות טריגונומטריות והקשר שלהם לנגזרות.

תרגול קצר

אינטגרל של סינוס וקוסינוס

רמת קושי: קל

ממתין

חשבו את האינטגרל של \( \cos x \) ושל \( \sin x \) ביחד.

אינטגרליםטריגונומטריהבייסיק

רמז: השתמשו בנוסחאות האינטגרל הבסיסיות שנלמדו ובזכרו להוסיף את הקבוע C.

פתרון מלא

תשובה סופית: \( \int \cos x dx = \sin x + C \) ו- \( \int \sin x dx = - \cos x + C \)

האינטגרל של \( \cos x \) הוא \( \sin x + C \), והאינטגרל של \( \sin x \) הוא \( -\cos x + C \).

פתור אינטגרל טריגונומטרי עם מקדם

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את האינטגרל \( \int \cos(3x) dx \).

אינטגרליםטריגונומטריהביניים

רמז: השתמש בכלל האינטגרל לפונקציה עם מקדם \( k \).

פתרון מלא

תשובה סופית: \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)

\( \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) מכיוון שיש מקדם 3 ב-x, נחלק ב-3.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של קוסינוס עם מקדם

איך מחשבים את \( \int \cos(3x) dx \)

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אינטגרל של \( \cos(3x) \)
נתון 1
נתון 1
האינטגרל \( (kx) dx \) שווה \( (1)/(k) (kx) + C \)
נתון 2
הפונקציה הנתונה היא \( \cos(3x) \)
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בכלל האינטגרל לפונקציה טריגונומטרית עם מקדם בתוך המשתנה ונחלק ב-k.
נוסחה
נחלק ב-3 ונכפיל ב-\( \sin(3x) \) בתוצאה.
1 / 3 * sin(3x) + C1/3*sin(3x) + C(1)/(3) (3x) + C
משוואה
אנו יודעים ש-\( \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \).
אנו יודעים ש-\( \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \).
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
נכתוב \( \int \cos(3x) dx \) ונזכיר את חוק החלוקה ב-k.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה \( \cos(3x) \) והנוסחה הכללית

מה עושים

אנו יודעים ש-\( \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \).

למה

זו נוסחת אינטגרל בסיסית לפונקציה טריגונומטרית עם מקדם.

פונקציה נתונה \( \cos(3x) \), כלל עם פרמטר \( k \).

בחירת שיטה

להשתמש בכלל האינטגרל עם מקדם קבוע

מה עושים

נזהה את המקדם \( k = 3 \) בתוך הפונקציה.

למה

צריך להתחשב במקדם זה בחישוב האינטגרל.

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל עם המקדם

מה עושים

נכתוב \( \int \cos(3x) dx \) ונזכיר את חוק החלוקה ב-k.

למה

כך נבצע המרה לפונקציה בסיסית.

פתרון

לבצע אינטגרציה

מה עושים

נחלק ב-3 ונכפיל ב-\( \sin(3x) \) בתוצאה.

למה

כדי לקבל את האינטגרל המדויק.

נוסחה / הצבה

1 / 3 * sin(3x) + C1/3*sin(3x) + C(1)/(3) (3x) + C

שימו לב לחלק במקדם ולא לשכוח את הקבוע C.

פתרונות כלליים

אינטגרל של סינוס וקוסינוס: האינטגרל של \( \cos x \) הוא \( \sin x + C \), והאינטגרל של \( \sin x \) הוא \( -\cos x + C \).
פתור אינטגרל טריגונומטרי עם מקדם: \( \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) מכיוון שיש מקדם 3 ב-x, נחלק ב-3.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. אינטגרל טריגונומטרי

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אינטגרל של \( \cos(3x) \)

נתון 1

הפונקציה הנתונה היא \( \cos(3x) \)

הרעיון המרכזי

נחלק ב-3 ונכפיל ב-\( \sin(3x) \) בתוצאה.

אנו יודעים ש-\( \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \).

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה \( \cos(3x) \) והנוסחה הכללית

להשתמש בכלל האינטגרל עם מקדם קבוע

כתיבת האינטגרל עם המקדם

לבצע אינטגרציה

פתרונות כלליים