וידאו · אינטגרלים
ב10. אינטגרל טריגונומטרי
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על אינטגרלים טריגונומטריים, הכולל הוכחה זהויות טריגונומטריות, חקירת תחום הפונקציה וטיפול באינטגרלים המערבים טנגנס בריבוע עם שימוש בזהויות ומחקר נקודות קיצון ותחום ההגדרה.
- הבנת זהויות טריגונומטריות ושימושן בהוכחות
- חקירת תחום הגדרת פונקציות טריגונומטריות
- מציאת נקודות קיצון ומחקר נגזרת פונקציות טריגונומטריות
- פתרון אינטגרלים טריגונומטריים תוך שימוש בהתמרות ובזהויות
- חישוב שטחים בין גרפים בעזרת אינטגרלים
- הוכחת זהות טריגונומטרית: הוכחה של זהות טנגנס בריבוע תוך שימוש בזהויות בסיסיות של סינוס וקוסינוס.
- תחום הגדרת הפונקציה: בחינת תחום ההגדרה לפונקציה טנגנס בריבוע עם דרישה שמכנה הקוסינוס לא יהיה אפס, ומתוך כך הגדרת התחום בין מינוס פי חצי לפי חצי ללא שווי.
- חקירת פונקציה ומשמעויות על הצירים: בדיקת אסימפטוטות, נקודות קיצון, חיתוכים עם הצירים, ונגזרת הפונקציה לטנגנס בריבוע לצורך מציאת נקודות קיצון.
- חישוב שטח כלוא בין גרף לפונקציה מתמדת: מציאת השטח הכלוא בין גרף טנגנס בריבוע של X לבין הישר Y=3 על ידי פתרון אינטגרל עם תחומי חסמים ספציפיים.
תרגול קצר
מציאת תחום הגדרת פונקציית טנגנס בריבוע
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = טנגנס בריבוע של x. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה בתחום בין מינוס פי חצי לפי חצי.
רמז: טנגנס מוגדר כסינוס חלקי קוסינוס - דרוש שהקוסינוס לא יהיה אפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x ∈ (−פי/2, פי/2)
טנגנס מוגדר כל עוד הקוסינוס שונה מאפס. הקוסינוס שווה אפס כאשר x = ±(פי/2) + פי*k. בתחום (−פי/2, פי/2) אסור לכלול את נקודות השווי. לכן תחום ההגדרה הוא: x ∈ (−פי/2, פי/2).
חישוב נקודות קיצון של הפונקציה טנגנס בריבוע
רמת קושי: בינוני
לכוון את הפונקציה f(x) = טנגנס בריבוע(x) בתחום (−פי/2, פי/2). מצא את נקודות הקיצון שלה.
רמז: חשב את הנגזרת של הפונקציה ופתור f'(x)=0.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x=0 (מינימום)
הנגזרת היא f'(x) = 2 * טנגנס x * (נגזרת טנגנס x). הנגזרת של טנגנס x היא 1 חלקי קוסינוס בריבוע x. לכן f'(x) = 2 * טנגנס x / קוסינוס בריבוע x. הנגזרת מתאפסת כאשר טנגנס x=0, כלומר ב-x=0 בתחום הנתון.
חישוב שטח הכלוא בין y=3 לגרף הפונקציה טנגנס בריבוע
רמת קושי: מאתגר
חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = טנגנס בריבוע x לבין הישר y=3 בתחום x מ- −פי/3 עד פי/3.
רמז: מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה ל-y=3, ואז הגדר אינטגרל מתאי הגבולות.
פתרון מלא
תשובה סופית: השטח הכלוא הוא כ-4.913 יחידות ריבועיות
שווי פונקציה לטנגנס בריבוע x=3 ב-x=±פי/3. השטח הוא האינטגרל מ−פי/3 עד פי/3 של (3 - טנגנס בריבוע x) dx. השתמש בזהות: טנגנס בריבוע x = 1 חלקי קוסינוס בריבוע x - 1. הפונקציה בתוך האינטגרל הופכת להיות 4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע x. חישוב האינטגרל הוא: 4x - טנגנס x, מאיפה שמהגבולות ומוצאים את התוצאה ≈ 4.913.
פתרון אינטגרל של טנגנס בריבוע בתחום מוגבל
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = טנגנס בריבוע x בתחום x ∈ (−פי/2, פי/2). מצא את השטח בין y=3 לגרף הפונקציה בתחום מ−פי/3 עד פי/3.
רמז: השווה את טנגנס בריבוע x ל-3, מצא את הגבולות, השתמש בזהויות כדי לפשט את האינטגרל.
פתרון מלא
תשובה סופית: השיעור פותר את הבעיה ע"י 4.913 יחידות ריבועיות
נמצא תחומי החיתוך ב-x=±פי/3. האינטגרל הנדרש הוא ∫ מ−פי/3 עד פי/3 של (3 - טנגנס בריבוע x) dx. בטיפול משתמשים בזהות טנגנס בריבוע x = 1 חלקי קוסינוס בריבוע x - 1, והאינטגרל הופך להיות ∫ (4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע x) dx. חישוב האינטגרל נותן תוצאה משולבת של 4x פחות טנגנס x בגבולות, ומתוצאה מספרית של כ-4.913.
דרך הפתרון
חישוב שטח כלוא בין פונקציית טנגנס בריבוע לישר y=3
הנחות ותהליך לפתרון אינטגרל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא שטח הכלוא בין הגרף לישר y=3 על ידי אינטגרל
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = טנגנס בריבוע X - נתון 2
נתון 2
הישר y = 3 - נתון 3
תחום x מ-−פי/3 עד פי/3
- רעיון
הרעיון המרכזי
להשוות בין הפונקציה ל-3 ולקבוע את תחומי האינטגרציה, ואז לחשב את האינטגרל של הפונקציה (הבדל בין
- נוסחה
הגדר את האינטגרל כשובר בין הפונקציה העליונה לני תחתונה.
אינטגרל מה - Pi/3 עד Pi/3 של (3 - טנגנס בריבוע X) dx - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
המירו את טנגנס בריבוע לשבר עם קוסינוס על מנת לפשט את האינטגרל.
המירו את טנגנס בריבוע לשבר עם קוסינוס על מנת לפשט את האינטגרל.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הבעיה והנתונים
זיהוי נתונים
הגדרת הבעיה והנתונים
מה עושים
הגדר את הפונקציה והישר ואת תחום ההגדרה המבוקש.
למה
יש להכיר את הפונקציה והישר כדי להגדיר את גבולות האינטגרציה.
יש לקחת את הפונקציה טנגנס בריבוע ושל הישר y=3, ולבדוק את תחום הפעולה שהוא מקטע בין -פי/3 ל-פי/3.
2בחירת שיטה
מציאת נקודות החיתוך
בחירת שיטה
מציאת נקודות החיתוך
מה עושים
שווה טנגנס בריבוע x ל-3, הוצא שורש וחשב ערכי x המתאימים.
למה
נקודות החיתוך הן גבולות האינטגרל שמגדירים את תחום השטח המבוקש.
טנגנס בריבוע X=3 ⇨ טנגנס X = ±שורש 3 ⇨ x= ±פי/3 בתוך התחום.
3בניית משוואה
כתיבת הביטוי לאינטגרל
בניית משוואה
כתיבת הביטוי לאינטגרל
מה עושים
הגדר את האינטגרל כשובר בין הפונקציה העליונה לני תחתונה.
למה
חשוב להגדיר היטב את הביטוי המתמטי לחישוב השטח הכלוא.
האינטגרל הוא מ-−פי/3 עד פי/3 של (3 - טנגנס בריבוע X) dx.
נוסחה / הצבה
אינטגרל מה - Pi/3 עד Pi/3 של (3 - טנגנס בריבוע X) dx4פתרון
פישוט באמצעות זהות טריגונומטרית
פתרון
פישוט באמצעות זהות טריגונומטרית
מה עושים
המירו את טנגנס בריבוע לשבר עם קוסינוס על מנת לפשט את האינטגרל.
למה
פישוט מביא לחישוב נוח יותר של האינטגרל.
טנגנס בריבוע X = 1 חלקי קוסינוס בריבוע X - 1, לכן הביטוי בתוך האינטגרל הוא 4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע X.
נוסחה / הצבה
3 - (טנגנס בריבוע X) = 4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע Xזכור שהזהות עוזרת להמיר אינטגרל קשה לאינטגרל מוכר.
5פתרון
חישוב האינטגרל המפושט
פתרון
חישוב האינטגרל המפושט
מה עושים
חשב את האינטגרל של 4 minus 1/cos²(x) בין הגבולות.
למה
חישוב האינטגרל המאפשר למצוא את השטח המבוקש בדיוק מספרי.
אינטגרל של 4 הוא 4x, אינטגרל של 1 חלקי קוסינוס בריבוע הוא טנגנס X. הגבולות הם מ-−פי/3 עד פי/3.
נוסחה / הצבה
∫ (4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע X) dx = 4x - טנגנס Xהשתמש בנוסחאות אינטגרל בסיסיות של פונקציות טריגונומטריות.
6תשובה
הצבת הגבולות וחישוב התוצאה
תשובה
הצבת הגבולות וחישוב התוצאה
מה עושים
החלץ ערכי הפונקציה באינטגרל בגבולות וחישב את ההפרש.
למה
התוצאה היא השטח הכלוא בין הגרף לישר.
הצבת x=פי/3 ו-x=−פי/3 באינטגרל ומציאת ההפרש נותנת כ-4.913 יחידות ריבועיות.
נוסחה / הצבה
(4 * Pi/3- טנגנס (Pi/3))- (4 * (-Pi/3)- טנגנס(-Pi/3)) ≈ 4.913פתרונות כלליים
- מציאת תחום הגדרת פונקציית טנגנס בריבוע: טנגנס מוגדר כל עוד הקוסינוס שונה מאפס. הקוסינוס שווה אפס כאשר x = ±(פי/2) + פי*k. בתחום (−פי/2, פי/2) אסור לכלול את נקודות השווי. לכן תחום ההגדרה הוא: x ∈ (−פי/2, פי/2).
- חישוב נקודות קיצון של הפונקציה טנגנס בריבוע: הנגזרת היא f'(x) = 2 * טנגנס x * (נגזרת טנגנס x). הנגזרת של טנגנס x היא 1 חלקי קוסינוס בריבוע x. לכן f'(x) = 2 * טנגנס x / קוסינוס בריבוע x. הנגזרת מתאפסת כאשר טנגנס x=0, כלומר ב-x=0 בתחום הנתון.
- חישוב שטח הכלוא בין y=3 לגרף הפונקציה טנגנס בריבוע: שווי פונקציה לטנגנס בריבוע x=3 ב-x=±פי/3. השטח הוא האינטגרל מ−פי/3 עד פי/3 של (3 - טנגנס בריבוע x) dx. השתמש בזהות: טנגנס בריבוע x = 1 חלקי קוסינוס בריבוע x - 1. הפונקציה בתוך האינטגרל הופכת להיות 4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע x. חישוב האינטגרל הוא: 4x - טנגנס x, מאיפה שמהגבולות ומוצאים את התוצאה ≈ 4.913.
- פתרון אינטגרל של טנגנס בריבוע בתחום מוגבל: נמצא תחומי החיתוך ב-x=±פי/3. האינטגרל הנדרש הוא ∫ מ−פי/3 עד פי/3 של (3 - טנגנס בריבוע x) dx. בטיפול משתמשים בזהות טנגנס בריבוע x = 1 חלקי קוסינוס בריבוע x - 1, והאינטגרל הופך להיות ∫ (4 - 1 חלקי קוסינוס בריבוע x) dx. חישוב האינטגרל נותן תוצאה משולבת של 4x פחות טנגנס x בגבולות, ומתוצאה מספרית של כ-4.913.