וידאו · אינטגרלים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב2. אינטגרל טריגונומטרי
ב3. אינטגרל טריגונומטרי
ב4. אינטגרל טריגונומטרי
ב5. אינטגרל טריגונומטרי
ב6. אינטגרל טריגונומטרי
ב7. אינטגרל טריגונומטרי
ב8. אינטגרל טריגונומטרי
ב9. אינטגרל טריגונומטרי
ב10. אינטגרל טריגונומטרי
ב11. אינטגרל טריגונומטרי
מציאת נקודות קיצון של הפונקציה y = sin x + cos x
רמת קושי: קל
מוצאת את נקודות הקיצון של הפונקציה y = sin x + cos x בתחום [0, 2π].
רמז: חשב את נגזרת y, ואז פתר את המשוואה שבה הנגזרת שווה לאפס.
תשובה סופית: נקודות הקיצון הן ב-x = π/4 ו-x = 5π/4.
נגזרת y היא cos x - sin x. נפתור cos x - sin x = 0 כלומר cos x = sin x. לכן tan x = 1. ערכי x המתאימים בתחום הם π/4 ו-5π/4.
מציאת שיפוע משיק בנקודת מקסימום
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה y = sin x + cos x. מצא את משוואת המשיק בנקודת המקסימום ב-x = π/4.
רמז: שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה, בקרה שהנגזרת שווה 0 בנקודת מקסימום.
תשובה סופית: y = √2
חשבנו שבנקודת π/4 הנגזרת cos x - sin x שווה 0 (משמעות מקסימום). ערך הפונקציה בנקודה: y(π/4) = √2. משוואת המשיק היא y = √2.
חישוב שטח כלוא בין הגרף, המשיק וציר x
רמת קושי: מאתגר
מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה y = sin x + cos x, המשיק בנקודת המקסימום ב-x = π/4 וציר ה-x בתחום [0, π/2].
רמז: חשב את אינטגרל ההפרש בין הפונקציה למשיק בתחום הנתון.
תשובה סופית: ∫_0^{π/2} (√2 - sin x - cos x) dx = √2 * π/2 - 2
משוואת המשיק היא y = √2. התחום בין 0 ל-π/2. השטח בין הגרף למשיק הוא אינטגרל מ-0 עד π/2 של (√2 - (sin x + cos x)) dx. הולכים לחשב אינטגרל זה כדי לקבל את השטח.
ניתוח נקודות קיצון ומשיקים לפונקציה טריגונומטרית
רמת קושי: בגרות
בפונקציה y = sin x + cos x בתחום [0, 2π]: א. מצא את נקודות הקיצון. ב. קבע את סוג כל נקודת קיצון (מקסימום/מינימום). ג. מצא את משוואת המשיק בנקודת המקסימום הראשונה. ד. חשב את השטח הכלוא בין המשיק, הפונקציה וציר ה-x בתחום [0, π/2].
רמז: א. חשב נגזרת y ופתור y' = 0. ב. בדוק סימני הנגזרת לפני ואחרי כל נקודה. ג. השתמש במשוואת המשיק. ד. חשב אינטגרל של ההפרש בין המשיק לפונקציה.
תשובה סופית: נקודות קיצון: π/4(max), 5π/4(min); משוואת משיק: y=√2; שטח כלוא: √2 * π/2 - 2.
א. y' = cos x - sin x = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x=π/4,5π/4. ב. ב-x=π/4 נגזרת משנה מעלה למטה ⇒ מקסימום, ב-5π/4 מינימום. ג. y(π/4) = sin(π/4)+cos(π/4)= √2, המשיק: y=√2. ד. שטח = ∫_0^{π/2} (√2 - sin x - cos x) dx = √2 * π/2 - 2.
הדגמה על הפונקציה y = sin x + cos x
y = sin x + cos xנחשב את הנגזרת של הפונקציה, נמצא איפה היא שווה 0, נבדוק סימני נגזרת כדי לקבוע סוג הקיצון, ולבסוף
cos x - sin x = 0⇒ tan x = 1מציבים את הנתונים במשוואה.
בחר את הערכים בתחום [0, 2π]: x = π/4, 5π/4.
x = π/4, 5π/4ערך פונקציה בנקודה: y(π/4) = √2, שיפוע = 0.
y = √2השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הפונקציה y = sin x + cos x בתחום [0, 2π].
למה
הבנתי מהי הפונקציה ומה התחום הנתון.
בחירת שיטה
מה עושים
נגזור את הפונקציה לקבלת y'.
למה
נמצא נקודות שבהן y' = 0, כדי לזהות נקודות קיצון.
y' = cos x - sin x
נוסחה / הצבה
y' = cos x - sin xזכור נגזרת סינוס היא קוסינוס, נגזרת קוסינוס היא מינוס סינוס.
בניית משוואה
מה עושים
נפתור cos x - sin x = 0 כלומר tan x = 1.
למה
נקודות קיצון מתקבלות כשנגזרת מתאפסת.
נוסחה / הצבה
cos x - sin x = 0⇒ tan x = 1טנגנס שווה ל-1 ב-x = π/4 + kπ.
פתרון
מה עושים
בחר את הערכים בתחום [0, 2π]: x = π/4, 5π/4.
למה
רק ערכים אלו מתאימים לתחום הנתון.
נוסחה / הצבה
x = π/4, 5π/4לשים לב לתחום השאלה בלבד.
פתרון
מה עושים
בדוק סימני y' בסמוך לנקודות כדי לקבוע מקסימום או מינימום.
למה
שינוי סימן הנגזרת מראה על סוג הקיצון.
y'(π/4 -) > 0; y'(π/4 +) < 0 ⇒ מקסימום.
נוסחה / הצבה
y' לפני π/4 חיוביאחרי π/4 שלילי⇒ נקודת מקסימוםשימוש בבדיקה פשוטה של ערכים ליד נקודת האפס.
פתרון
מה עושים
ערך פונקציה בנקודה: y(π/4) = √2, שיפוע = 0.
למה
משיק בנקודת מקסימום שיפועו אפס ומשוואתו קבועה y = y(a).
נוסחה / הצבה
y = √2זכור שמכאן המשיק הוא ישר אופקי.