MMATH
התחברות

וידאו · אינטגרלים

ב3. אינטגרל טריגונומטרי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
4 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

וידאו

ב1. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב2. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב3. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב4. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב5. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב6. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב7. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב8. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב9. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב10. אינטגרל טריגונומטרי

וידאו

ב11. אינטגרל טריגונומטרי

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בהבנת זהויות טריגונומטריות לריבועי סינוס וקוסינוס ובשימוש בהן לפישוט אינטגרלים. נלמד כיצד להפוך ביטויים כמו סינוס בריבוע וקוסינוס בריבוע לצורות שמקלות על חישוב אינטגרלים, בעיקר באמצעות זהויות חצי זווית.
  • להפוך ביטוי של קוסינוס בריבוע לביטוי עם קוסינוס של זווית כפולה
  • להבין ולהשתמש בזהות של סינוס בריבוע כדי לפשט אינטגרלים
  • להשתמש בחלוקה ובכפל בזוויות של הפונקציות הטריגונומטריות
  • לחשב אינטגרל של ביטויים טריגונומטריים מורכבים באמצעות זהויות מוכרות
  • זהויות בסיסיות של ריבועי קוסינוס וסינוס: הצגה וניתוח של זהות שמבטאת את קוסינוס בריבוע כגבול של ביטוי עם קוסינוס של זווית כפולה, כולל חלוקה בשתיים וטיפול בזוויות כפולות וחיבור הקבוע.
  • הבנת אינטגרלים של ריבוע סינוס וקוסינוס: פירוק מלבן אינטגרלי של סינוס בריבוע עם זוויות שונות באמצעות זהויות טריגונומטריות; הבנת ההכרח בפישוט הביטוי כדי לאפשר אינטגרציה.

תרגול קצר

אינטגרל של cos²(x)

רמת קושי: קל

ממתין

חשבו את האינטגרל של cos²(x) dx באינטגרציה של קבוע x.

אינטגרליםטריגונומטריהזהויות חצי זווית

רמז: השתמשו בזהות cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 כדי לפשט את האינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/2) * x + (1/4) * sin(2x) + C

נחליף את cos²(x) לזהות ונקבל אינטגרל של (1/2) + (1/2)cos(2x). אינטגרל (1/2)dx = (1/2)x, אינטגרל (1/2)cos(2x)dx = (1/4)sin(2x) + C.

אינטגרל של sin²(3x)

רמת קושי: בינוני

ממתין

הראו כיצד לחשב את האינטגרל של sin²(3x) dx.

אינטגרליםטריגונומטריהזהויות חצי זוויתזוויות מרובות

רמז: השתמשו בזהות sin²(x) = (1 - cos(2x))/2 עם שינוי זווית ל-3x.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/2) * x - (1/12) * sin(6x) + C

sin²(3x) = (1 - cos(6x))/2. לכן האינטגרל הוא אינטגרל של (1/2) - (1/2)cos(6x) dx. אינטגרל (1/2)dx = (1/2)x. אינטגרל -(1/2)cos(6x)dx = -(1/12)sin(6x)+C. סה"כ: (1/2)x - (1/12)sin(6x) + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לחשב אינטגרל של sin²(3x)

שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט אינטגרל

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא האינטגרל של sin²(3x) ביחס ל-x

  2. נתון 1

    הפונקציה sin²(3x)

  3. נתון 2

    הכללים לאינטגרציה

  4. נתון 3

    זהויות טריגונומטריות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בזהות חצי זווית עבור sin²(x) עם התאמה לזווית 3x, לפשט את הביטוי ואז לאינטגרל כל חלק

  6. נוסחה

    האינטגרל הופך ל- אינטגרל של (1/2) - (1/2) cos(6x) dx.

    אינטגרל (1/2 - 1/2 cos(6x)) dx
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    יש אינטגרל של sin בריבוע עם זווית 3x.

    יש אינטגרל של sin בריבוע עם זווית 3x.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נבין את הפונקציה הנתונה

מה עושים

יש אינטגרל של sin בריבוע עם זווית 3x.

למה

כדי לדעת מה נדרש לחשב.

sin²(3x) היא פונקציה מורכבת שדורשת פישוט.

2

בחירת שיטה

להשתמש בזהות חצי זווית

מה עושים

נחליף את sin²(3x) ב-(1 - cos(6x))/2.

למה

זה פשט את הפונקציה לצורת סכום שקל לאינטגרל.

זאת זהות טריגונומטרית המאפשרת להמיר ריבוע לסכום של פונקציות קוסינוס.

3

בניית משוואה

נכתוב את האינטגרל לאחר ההחלפה

מה עושים

האינטגרל הופך ל- אינטגרל של (1/2) - (1/2) cos(6x) dx.

למה

זה יאפשר לפרק האינטגרל לשני חלקים פשוטים.

מחליפים ואז כותבים את האינטגרל החדש לפישוט.

נוסחה / הצבה

אינטגרל (1/2 - 1/2 cos(6x)) dx
4

פתרון

אינטגרציה של כל רכיב בנפרד

מה עושים

אינטגרל של 1/2 הוא (1/2) x, אינטגרל של -1/2 cos(6x) הוא -(1/12) sin(6x).

למה

חישוב כל אינטגרל בנפרד פשוט יותר.

פיצול לאינטגרלים פשוטים ושימוש בחוקי אינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות.

נוסחה / הצבה

אינטגרל 1/2 dx = 1/2 xאינטגרל -1/2 cos(6x) dx = -1/12 sin(6x)
5

תשובה

מסקנה עם קבוע האינטגרציה

מה עושים

התוצאה היא (1/2) x - (1/12) sin(6x) + C.

למה

זוהי התוצאה הסופית של האינטגרל לאחר הפישוט.

התשובה היא הצגת האינטגרל בצורה פשוטה וברורה לחישוב.

נוסחה / הצבה

(1/2) x - (1/12) sin(6x) + C

פתרונות כלליים

  • אינטגרל של cos²(x): נחליף את cos²(x) לזהות ונקבל אינטגרל של (1/2) + (1/2)cos(2x). אינטגרל (1/2)dx = (1/2)x, אינטגרל (1/2)cos(2x)dx = (1/4)sin(2x) + C.
  • אינטגרל של sin²(3x): sin²(3x) = (1 - cos(6x))/2. לכן האינטגרל הוא אינטגרל של (1/2) - (1/2)cos(6x) dx. אינטגרל (1/2)dx = (1/2)x. אינטגרל -(1/2)cos(6x)dx = -(1/12)sin(6x)+C. סה"כ: (1/2)x - (1/12)sin(6x) + C.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.