השיעור עוסק בגזירה ואינטגרלים של פונקציות המכילות את פונקציית הלוגריתם הטבעי, עם דגש על חיבור בין נגזרת לאינטגרל, והצגת תרומה לפתרון בעיות אינטגרל שאינן ישירות באמצעות נוסחאות פשוטות.
להבין את פעולת הגזירה של מכפלה עם פונקציית לוגריתם טבעי
להכיר את הקשר ההפוך בין נגזרת לאינטגרל בפונקציות לוגריתמיות
ללמוד כיצד לגזור פונקציות המכילות x כפול ln(x) פחות x
להבין את הרעיון שעל אינטגרל של ln(x) לא לומדים בשלב זה בבגרויות (אינטגרציה בחלקים)
להכיר דרך עקיפה למציאת אינטגרל של ln(x) באמצעות גזירה ופונקציה נוספת
גזירת פונקציה המכילה ln(x) ומכפלה: הדגמה של גזירת פונקציה x כפול ln(x) פחות x באמצעות כלל הגזירה של מכפלה, תוך פירוק איברי הפונקציה.
הקשר בין אינטגרל ונגזרת של פונקציית ln(x): הסבר על אופן מציאת אינטגרל הפונקציה ln(x) באמצעות ההפיכה של הנגזרת, והצגת פונקציה עזר g(x).

תרגול קצר

גזור את הפונקציה x ln(x) - x

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה F(x) = x כפול ln(x) מינוס x.

נגזרתlnמכפלה

רמז: השתמש בכלל נגזרת המכפלה לנגזרת של x ln(x) וגזור את x בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: ln(x)

הנגזרת של x ln(x) היא נגזרת של x כפול ln(x) ועוד x כפול נגזרת של ln(x). נגזרת של x היא 1. נגזרת של ln(x) היא 1/x. התוצאה היא ln(x) + 1 - 1 = ln(x).

מצא את הפונקציה g(x) של האינטגרל של ln(x)

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם g'(x) = ln(x), מצא את הפונקציה g(x).

אינטגרלlnפונקציה

רמז: השתמש בידע שאינטגרל ln(x) שווה x ln(x) מינוס x ועוד קבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: g(x) = x ln(x) - x + 2

g(x) = x ln(x) - x + C למציאת C הצב x=2, ידוע שגילי ln(2) ועוד ביצוע פעולות יביאו ל-C=2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל גזירת פונקציה x ln(x) - x

כיצד לגזור פונקציה המכילה פונקציית לוגריתם טבעי ומכפלה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הנגזרת F'(x)
נתון 1
נתון 1
הפונקציה F(x) = x כפול ln(x) פחות x
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בכלל גזירת מכפלה לגזירת הביטוי x ln(x) וגזור את x בנפרד.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
נגזור נפרד את x ו-ln(x).
נגזור נפרד את x ו-ln(x).
פישוט
החלף בנוסחה ונקבל ln(x) + 1 - 1.
החלף בנוסחה ונקבל ln(x) + 1 - 1.
תוצאה
מסיימים בתשובה
F'(x) = ln(x)
בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי הביטויים במכפלה
- שימוש בכלל גזירת מכפלה
- זהירות: לא להשתמש בכלל המכפלה בגזירת x ln(x)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

יש לנו את הפונקציה F(x) = x ln(x) - x.

למה

כדי לדעת מה בדיוק יש לנו לגזור.

F(x) = x כפול ln(x) פחות x.

בחירת שיטה

השתמש בכלל נגזרת המכפלה

מה עושים

נזכור שצריך לגזור x כפול ln(x) באמצעות כלל המכפלה.

למה

כי הביטוי הוא מכפלה של שתי פונקציות.

הנגזרת של מכפלה היא נגזרת של האיבר הראשון כפול השני ועוד האיבר הראשון כפול נגזרת השני.

נוסחה / הצבה

d/dx (f g) = f' g + f g'(d)/(dx)(fg) = f' g + f g'

שימו לב שהשימוש בכלל המכפלה נכון גם כאן.

בניית משוואה

חשב נגזרות של האיברים

מה עושים

נגזור נפרד את x ו-ln(x).

למה

לפי כלל המכפלה אנו זקוקים לנגזרות של שני האיברים.

נגזרת של x היא 1. נגזרת של ln(x) היא 1/x.

פתרון

נחשב את נגזרת הביטוי

מה עושים

החלף בנוסחה ונקבל ln(x) + 1 - 1.

למה

כדי לקבל את התוצאה הסופית של הגזירה.

F'(x) = 1 * ln(x) + x * (1/x) - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)

תשובה

התוצאה הסופית של הנגזרת

מה עושים

F'(x) = ln(x)

למה

זו הנגזרת המבוקשת של הפונקציה.

הנגזרת של הפונקציה המורכבת היא ln(x).

פתרונות כלליים

גזור את הפונקציה x ln(x) - x: הנגזרת של x ln(x) היא נגזרת של x כפול ln(x) ועוד x כפול נגזרת של ln(x). נגזרת של x היא 1. נגזרת של ln(x) היא 1/x. התוצאה היא ln(x) + 1 - 1 = ln(x).
מצא את הפונקציה g(x) של האינטגרל של ln(x): g(x) = x ln(x) - x + C למציאת C הצב x=2, ידוע שגילי ln(2) ועוד ביצוע פעולות יביאו ל-C=2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הנגזרת F'(x)

נתון 1

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

נגזור נפרד את x ו-ln(x).

החלף בנוסחה ונקבל ln(x) + 1 - 1.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הפונקציה הנתונה

השתמש בכלל נגזרת המכפלה

חשב נגזרות של האיברים

נחשב את נגזרת הביטוי

התוצאה הסופית של הנגזרת

פתרונות כלליים