שיעור המסביר חוקים באינטגרלים של חזקות ושל פונקציית הלוגריתם הטבעי, עם דגש על אינטגרלים של פונקציות בעלות מכנה חזקה 1 והצגת חשיבות שימוש בערך מוחלט עבור פונקציית הלן.
להבין כיצד לחשב אינטגרלים של פונקציות עם חזקות שליליות
להכיר חוקים לאינטגרלים של פונקציית Ln(X)
ללמוד כיצד להוסיף את הערך המוחלט בפונקציית הלוגריתם הטבעי
להבין מתי לא ניתן להשתמש בחוקי האינטגרציה הרגילים בשל התנאים המגבילים על המשתנה
אינטגרלים של פונקציות חזקה: הסבר על אינטגרלים של פונקציות בעלות חזקות שליליות והצגת חוק האינטגרציה הרגיל לחזקות.
אינטגרל פונקציית Ln(X): הסבר על אינטגרל של 1 חלקי X שהוא הפונקציה לוגריתם טבעי של ערך מוחלט X

תרגול קצר

אינטגרל של ביטוי עם חזקות שליליות

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה: 1 על x בחזקת 3 פחות 1 על x בחזקת 4.

אינטגרליםחזקה שליליתבסיס

רמז: השתמש בחוק האינטגרל לחזקה והוסף את C בסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: - 1/2 x^-2 + 1/3 x^-3 + C

המיר כל מונח לחזקת X עם חזקה שלילית: x^-3 ו-x^-4. האינטגרל של x^n הוא x^(n+1)/(n+1). לכן האינטגרל של x^-3 הוא x^-2 חלקי (-2), והאינטגרל של x^-4 הוא x^-3 חלקי (-3). סוף לביטוי: -1/2 x^-2 + 1/3 x^-3 + C.

אינטגרל של ביטוי עם מכנים חזקה אחת

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה: (2 על x) + (3 על x בריבוע) פחות 4.

אינטגרליםלוגריתם טבעיחזקה אחת

רמז: ל- 1/x האינטגרל הוא Ln של הערך המוחלט של x. לחזקות אחרות יש להשתמש בחוק האינטגרל לחזקה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 ln|x| - 3/x - 4x + C

פירק את הביטוי לחלקים: אינטגרל של 2/x הוא 2 Ln |x|, אינטגרל של 3/x^2 = אינטגרל של 3 x^-2 = 3 x^-1 חלקי (-1) = -3/x, אינטגרל של -4 הוא -4x. לכן סיכום האינטגרלים: 2 Ln|x| - 3/x - 4x + C.

אינטגרל מורכב של פונקציות עם מכנים וחזקות

רמת קושי: בגרות

ממתין

חשב את האינטגרל: ∫ (2/x + 3/x^2 - 4) dx

אינטגרליםלוגריתםפונקציות מפוצלות

רמז: פצל לסכום של אינטגרלים. זכור אינטגרל של 1/x הוא ln של הערך המוחלט של x.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 ln|x| - 3/x - 4x + C

∫ 2/x dx = 2 ln|x| + C ∫ 3/x^2 dx = 3 ∫ x^-2 dx = 3 (-x^-1) = -3/x + C ∫ (-4) dx = -4x + C סכום כל החלקים יחד 2 ln|x| - 3/x - 4x + C

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של פונקציה עם חזקות ומכנה חזקה 1

חישוב ∫ (2/x + 3/x^2 - 4) dx

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נציג את האינטגרל במונחים פשוטים / נמצא ביטוי סופי עם חיבור של פונקציות ידועות
נתון 1
נתון 1
∫ (2/x + 3/x^2 - 4) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
נפרק את האינטגרל לסכום אינטגרלים פשוטים ונשתמש בחוקים לאינטגרלים של פונקציות חזקה ולוגריתם.
נוסחה
נחיל את החוק על x בחזקת n כאשר n לא שווה ל-1
אינטגרלx בחזקת n= x בחזקת n+1חלקי n+1+ C
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נחשב כל אינטגרל בנפרד ונוסיף אותם
נחשב כל אינטגרל בנפרד ונוסיף אותם
תוצאה
מסיימים בתשובה
נחבר את כל התוצאות ונוסיף + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם פירקנו את האינטגרל נכון לסכום של מונחים?
- האם זוכרים להוסיף ערך מוחלט לאינטגרל ln|x|?
- זהירות: שכחה להוסיף ערך מוחלט לפני חישוב ln|x|

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הביטוי

מה עושים

נכתוב את הביטוי כמנה של חזקות X

למה

קל יותר לחשב אינטגרלים של חזקות X רציפות

2/x זה 2 כפול x בחזקת מינוס 1, 3/x^2 זה 3 כפול x בחזקת מינוס 2.

בחירת שיטה

פירוק האינטגרל

מה עושים

נפצל את האינטגרל לסכום של אינטגרלים של כל מונח בנפרד

למה

כחוק האינטגרל, אינטגרל של סכום שווה סכום האינטגרלים

בניית משוואה

כתיבת אינטגרלים לפי החוק לחזקה

מה עושים

נחיל את החוק על x בחזקת n כאשר n לא שווה ל-1

למה

ניתן לחשב אינטגרלים פונקציות חזקה לפי נוסחה מוכרת

אינטגרל של x בחזקת n הוא x בחזקת n+1 חלקי n+1

נוסחה / הצבה

אינטגרלx בחזקת n= x בחזקת n+1חלקי n+1+ C

להיזהר מחזקות שנכנסות לחישוב לחלק באפס

פתרון

חישוב אינטגרלים

מה עושים

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונוסיף אותם

למה

פעולה פשוטה על כל מונח מאפשרת חישוב מדויק

∫ 2/x dx = 2 ln|x|, ∫ 3/x^2 dx = -3/x, ∫ -4 dx = -4x

זכור להוסיף ערך מוחלט בלוגריתם

תשובה

כתיבת התוצאה הסופית

מה עושים

נחבר את כל התוצאות ונוסיף + C

למה

+ C מייצג קבוע אינטגרציה בהוספת כל אינטגרל לא מוחלט

2 ln|x| - 3/x - 4x + C

פתרונות כלליים

אינטגרל של ביטוי עם חזקות שליליות: המיר כל מונח לחזקת X עם חזקה שלילית: x^-3 ו-x^-4. האינטגרל של x^n הוא x^(n+1)/(n+1). לכן האינטגרל של x^-3 הוא x^-2 חלקי (-2), והאינטגרל של x^-4 הוא x^-3 חלקי (-3). סוף לביטוי: -1/2 x^-2 + 1/3 x^-3 + C.
אינטגרל של ביטוי עם מכנים חזקה אחת: פירק את הביטוי לחלקים: אינטגרל של 2/x הוא 2 Ln |x|, אינטגרל של 3/x^2 = אינטגרל של 3 x^-2 = 3 x^-1 חלקי (-1) = -3/x, אינטגרל של -4 הוא -4x. לכן סיכום האינטגרלים: 2 Ln|x| - 3/x - 4x + C.
אינטגרל מורכב של פונקציות עם מכנים וחזקות: ∫ 2/x dx = 2 ln|x| + C ∫ 3/x^2 dx = 3 ∫ x^-2 dx = 3 (-x^-1) = -3/x + C ∫ (-4) dx = -4x + C סכום כל החלקים יחד 2 ln|x| - 3/x - 4x + C

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נציג את האינטגרל במונחים פשוטים / נמצא ביטוי סופי עם חיבור של פונקציות ידועות

נתון 1

הרעיון המרכזי

נחיל את החוק על x בחזקת n כאשר n לא שווה ל-1

נבנה משוואה

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונוסיף אותם

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת הביטוי

פירוק האינטגרל

כתיבת אינטגרלים לפי החוק לחזקה

חישוב אינטגרלים

כתיבת התוצאה הסופית

פתרונות כלליים