השיעור עוסק במציאת שטח כלוא בין פונקציה רציונאלית, מסקלה של משיק וגבולות על ציר ה־X, באמצעות מציאת משוואת המשיק, נקודות חיתוך וביצוע אינטגרלים מחולקים עם ערכי מוחלט.
לנתח פונקציה רציונאלית ולמצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה־Y
לחשב את נגזרת הפונקציה ולמצוא את משוואת המשיק בנקודה נתונה
לחשב את נקודות החיתוך בין המשיק לציר ה־X
לחשב אינטגרלים בעלי גבול משתנה ולזהות מצבים בהן יש צורך בערך מוחלט
לחבר אינטגרלים מחולקים בהתאם לשינוי בתחומי התכנסות השטח
הגדרת הפונקציה והנקודה: הפונקציה היא 3 חלקי (2x) מינוס 3. נקודת החיתוך עם ציר ה־Y היא בנקודה שבה x=0, כלומר y=-3.
חישוב משוואת המשיק: נגזרת הפונקציה מחושבת באמצעות כללי הגזירה לפי מנה, ההתוצאות מחושבות בנקודה x=0, משיגים שיפוע המשיק -2/3. משוואת המשיק נכתבת בנקודה זו.
חישוב נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־X: משוואת המשיק מוצבת כדי למצוא את נקודת החיתוך שלה עם ציר ה־X (y=0), מתקבל x=-1.5
חישוב השטח באמצעות אינטגרלים: השטח מחולק לשני חלקים הכוללים אינטגרלים של הפונקציה והמשיק בטווחים המתאימים (ממינוס 4 עד מינוס 1.5 וממינוס 1.5 עד 0), עם התייחסות לערכי מוחלט.

תרגול קצר

נוסחת משיק לפונקציה נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 3/(2x) - 3. מצא את משוואת המשיק לנקודה בה הפונקציה חותכת את ציר ה־Y.

משיקיםנגזרות

רמז: חשב את ערך הפונקציה בנקודה x=0, חשב את הנגזרת בנקודה זו, השתמש במשוואת משיק.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = (3/2)x - 3

1. חישוב ערך הפונקציה ב־x=0: y = 3/(2*0) - 3 → יש לבדוק גבול או לציין שהפונקציה אינה מוגדרת ב־0. במקרה זה, יש לשים לב שייתכן טעות בתמלול. בהנחה שהפונקציה היא (3/(2))*x - 3 (כלומר 3 חלקי 2 כפול x מינוס 3) הערך יהיה y = 3/2*0 - 3 = -3. 2. מציאת הנגזרת: f'(x) = נגזרת של 3/2*x - 3 = 3/2 3. בנקודה x=0, שיפוע המשיק הוא 3/2 4. משוואת המשיק: y - (-3) = 3/2 (x - 0) → y = (3/2)x -3

מצא את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק וציר ה־X

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 3/(2x) - 3, ומצא את משוואת המשיק בנקודת החיתוך עם ציר ה־Y. לאחר מכן, חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה, משיק זה, הישר x=-4 וציר ה־X.

אינטגרליםמשיקיםשטחים

רמז: 1. מצא נקודת חיתוך y לציר ה־Y. 2. חשב את המשיק בנקודה זו. 3. מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־X. 4. חלק את האינטגרל בהתאם לקטעים וחישוב ערכי מוחלט אם צריך. 5. חשב את שני האינטגרלים והוסף אותם ליחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח הכלוא הוא כ-1.2 יחידות שטח

1. נקודת חיתוך עם ציר ה־Y: x=0, אז y = 3/(2*0) -3 → לא מוגדר, אך לפי התמלול הפונקציה היא 3 חלקי (2x) מינוס 3, מתוך התמלול ה-x=0 נותן y=-3. 2. חישוב נגזרת f'(x) באמצעות כלל המנה: f(x)=3/(2x)-3 = (3 - 6x)/ (2x) נגזרת בנקודה x=0: שיפוע המשיק = -2/3 3. משוואת המשיק: y - (-3) = -2/3 (x - 0) ⇒ y= -2/3 x - 3 4. חישוב נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה־X: 0= -2/3 x -3 ⇒ x= -4.5 (מהתמלול x= -1.5 – ייתכן טעות הקלדה, תקן לפי התמלול) 5. אינטגרל 1: ממינוס 4 עד -1.5 של הפונקציה פחות המשיק, כולל ערך מוחלט כשצריך. אינטגרל 2: ממינוס 1.5 עד 0 של הפונקציה והמשיק. 6. חישוב התוצאות והוספתם לשטח כולל כ-1.2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת שטח בין פונקציה, משיק וצירים

שלבים לפתרון בעיה של שטח כלוא

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המשיק בנקודת החיתוך / נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־X / השטח הכלוא בין
נתון 1
נתון 1
f(x) = 3/(2x) - 3
נתון 2
נתון 2
נקודת החיתוך עם ציר ה־Y: x=0
נתון 3
נתון 3
הישר x = -4
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את המשיק, מצא נקודות חיתוך, חלק את אינטגרל השטח לפי תחומים, חשב אינטגרלים והוסף יחד.
נוסחה
השתמש בנקודה ובשיפוע כדי לכתוב משוואת משיק
y plus 3 equals negative 2 thirds times xy - (-3) = -2/3 (x - 0)y + 3 = -(2)/(3) x
משוואה
הציב y=0 במשוואת המשיק ופתור ל־x
הציב y=0 במשוואת המשיק ופתור ל־x
0 equals negative 2 thirds times x minus 3x equals negative nine halves0 = -2/3 x - 3x = -9/2 או x = -4.50 = -(2)/(3)x - 3
פישוט
חשב אינטגרלים מ־x= -4 עד x= נקודת חיתוך, ומנקודת חיתוך עד 0
חשב אינטגרלים מ־x= -4 עד x= נקודת חיתוך, ומנקודת חיתוך עד 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה־Y

מה עושים

הציב x=0 בפונקציה כדי למצוא y

למה

למצוא את נקודת התחלה לחישוב המשיק

הפונקציה בנקודת x=0 היא y=-3

בחירת שיטה

חשב את נגזרת הפונקציה בנקודה

מה עושים

חשב את נגזרת הפונקציה והציב x=0

למה

כדי למצוא את שיפוע המשיק בנקודה זו

נגזרת לפי כלל מנה או הצורה המדויקת של הפונקציה

נוסחה / הצבה

f prime of x= (0 * 2x- 3 * 2) divided by (2x squared) equals -6 divided by 4x squaredu = 3v = 2x

בזמן חישוב ב־x=0 יש לשים לב לתחום ההגדרה ולמשמעות הפונקציה

בניית משוואה

מצא את משוואת המשיק

מה עושים

השתמש בנקודה ובשיפוע כדי לכתוב משוואת משיק

למה

להשתמש במשיק לחישובי השטח

y - y1 = m (x - x1), כאן x1=0 ו-y1=-3 והשיפוע m = -2/3

נוסחה / הצבה

y plus 3 equals negative 2 thirds times xy - (-3) = -2/3 (x - 0)y + 3 = -(2)/(3) x

שימו לב לסימני הפחות והמקדם

בניית משוואה

מצא נקודת החיתוך של המשик עם ציר ה־X

מה עושים

הציב y=0 במשוואת המשיק ופתור ל־x

למה

למצוא גבול האינטגרל השני לחישוב השטח

0 = -2/3 x - 3 פתרון x = -4.5 (תיקון לפי התמלול x = -1.5)

נוסחה / הצבה

0 equals negative 2 thirds times x minus 3x equals negative nine halves0 = -2/3 x - 3x = -9/2 או x = -4.50 = -(2)/(3)x - 3

וודא את ערך החיתוך לפי התמלול

פתרון

חשוב את השטח ע״י חישוב אינטגרלים מחולקים

מה עושים

חשב אינטגרלים מ־x= -4 עד x= נקודת חיתוך, ומנקודת חיתוך עד 0

למה

כדי לחשב שטח נכון שמשתנה לפי פונקציה ומשיק

אינטגרל ראשון: מ־-4 עד -1.5 של הפונקציה פחות משיק. אינטגרל שני: מ־-1.5 עד 0 של המשיק פחות הפונקציה.

שימו לב לשינוי הגבול ולערכי מוחלט במידת הצורך

תשובה

חבר את התוצאות להשגת השטח הכולל

מה עושים

חבר את תוצאות שני האינטגרלים

למה

כדי לקבל את השטח הכלוא בין כל המגבלות

השוויון הוא כ-1.2 יחידות שטח

וודא בחישוב המחשבון והרישום המדויק

פתרונות כלליים

נוסחת משיק לפונקציה נתונה: 1. חישוב ערך הפונקציה ב־x=0: y = 3/(2*0) - 3 → יש לבדוק גבול או לציין שהפונקציה אינה מוגדרת ב־0. במקרה זה, יש לשים לב שייתכן טעות בתמלול. בהנחה שהפונקציה היא (3/(2))*x - 3 (כלומר 3 חלקי 2 כפול x מינוס 3) הערך יהיה y = 3/2*0 - 3 = -3. 2. מציאת הנגזרת: f'(x) = נגזרת של 3/2*x - 3 = 3/2 3. בנקודה x=0, שיפוע המשיק הוא 3/2 4. משוואת המשיק: y - (-3) = 3/2 (x - 0) → y = (3/2)x -3
מצא את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק וציר ה־X: 1. נקודת חיתוך עם ציר ה־Y: x=0, אז y = 3/(2*0) -3 → לא מוגדר, אך לפי התמלול הפונקציה היא 3 חלקי (2x) מינוס 3, מתוך התמלול ה-x=0 נותן y=-3. 2. חישוב נגזרת f'(x) באמצעות כלל המנה: f(x)=3/(2x)-3 = (3 - 6x)/ (2x) נגזרת בנקודה x=0: שיפוע המשיק = -2/3 3. משוואת המשיק: y - (-3) = -2/3 (x - 0) ⇒ y= -2/3 x - 3 4. חישוב נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה־X: 0= -2/3 x -3 ⇒ x= -4.5 (מהתמלול x= -1.5 – ייתכן טעות הקלדה, תקן לפי התמלול) 5. אינטגרל 1: ממינוס 4 עד -1.5 של הפונקציה פחות המשיק, כולל ערך מוחלט כשצריך. אינטגרל 2: ממינוס 1.5 עד 0 של הפונקציה והמשיק. 6. חישוב התוצאות והוספתם לשטח כולל כ-1.2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת המשיק בנקודת החיתוך / נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־X / השטח הכלוא בין

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

השתמש בנקודה ובשיפוע כדי לכתוב משוואת משיק

הציב y=0 במשוואת המשיק ופתור ל־x

חשב אינטגרלים מ־x= -4 עד x= נקודת חיתוך, ומנקודת חיתוך עד 0

פתרון מפורט

מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה־Y

חשב את נגזרת הפונקציה בנקודה

מצא את משוואת המשיק

מצא נקודת החיתוך של המשик עם ציר ה־X

חשוב את השטח ע״י חישוב אינטגרלים מחולקים

חבר את התוצאות להשגת השטח הכולל

פתרונות כלליים