שיעור הממחיש פתרון בעיות מציאת שיפוע ומשוואת משיק לפונקציה, מציאת נקודת חיתוך וצורת שטחים בין פונקציות באמצעות אינטגרלים, במסגרת חזרה לבגרות 3 יח"ל.
לחשב שיפוע משיק לפונקציה בעזרת נגזרת
למצוא משוואת משיק לנקודה נתונה
לחשב חיתוך של משיק עם ציר x
לחשב שטח בין פונקציות וצירים באמצעות אינטגרלים
להכיר תהליך חישוב השטח כחיבור שטחים מפרקים
פונקציה ומשיק: מציאת שיפוע ומשוואת המשיק לפונקציה y = x^2 - 2x + 5 בנקודה x=3.
חיתוך המשיק עם ציר ה-x: מציאת נקודת החיתוך של משוואת המשיק עם ציר האיקס (y=0).
חישוב שטחים עם אינטגרלים: חישוב השטח בין הפונקציה לציר x, ובנוסף האזור שנוצר בין הפונקציה למשיק על ידי חיבור שתי אינטגרלים.

תרגול קצר

מציאת שיפוע משיק לנקודה נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 - 2x + 5. חשב את שיפוע המשיק בנקודה שבה x=3.

משיקנגזרתשיפוע

רמז: חשב את הנגזרת y' ואז הצב x=3.

פתרון מלא

תשובה סופית: 4

הנגזרת: y' = 2x - 2. הצבה: y'(3) = 2*3 - 2 = 6 - 2 = 4.

מציאת משוואת המשיק לנקודה נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 - 2x + 5. מצא את משוואת המשיק לנקודה שבה x=3.

משיקמשוואת ישר

רמז: מצא קודם את שיפוע המשיק ואז את נקודת המשיק כדי להציב במשוואת הישר.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 4x - 4

y(3) = 3^2 - 2*3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8. שיפוע המשיק m = 4 (מהתרגיל הקודם). משוואת המשיק: y - 8 = 4(x - 3).

חיתוך המשיק עם ציר האיקס

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה משוואת המשיק y = 4x - 4. מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

חיתוךציר xמשיק

רמז: הצבת y=0 במשוואה ופתרון ל-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1, 0)

0 = 4x - 4 => 4x = 4 => x = 1.

חישוב שטח בין הפונקציה למשיק

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הפונקציה y = x^2 - 2x +5 והמשיק בנקודה x=3, שהוא y = 4x - 4, חישב את השטח בין הפונקציה למשיק בתחום x מ-1 עד 3.

שטחאינטגרליםמשיק

רמז: חשב את האינטגרל מ-1 עד 3 של (פונקציה - משיק).

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/3

שטח = אינטגרל מ-1 עד 3 של [x^2 - 2x + 5 - (4x - 4)] dx = אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 6x + 9) dx. פתרון האינטגרל: x^3/3 - 3x^2 + 9x בין 1 ל-3 = (27/3 - 27 + 27) - (1/3 - 3 + 9) = (9 - 27 + 27) - (0.33 - 3 + 9) = 9 - 6.33 = 2.67 = 8/3.

אינטגרלים וחישוב שטחים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 - 2x + 5 ויריעת המשיק בנקודה x=3. חשב את השטח בין הפונקציה לציר x בין 0 ל-1, ואז את השטח בין הפונקציה למשיק מ-1 עד 3, וסכם את השטח הכולל.

שטחאינטגרליםבגרות

רמז: השתמש באינטגרלים מתאימים והפרש בין פונקציות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5

שטח בין הפונקציה וציר x מ-0 עד 1: אינטגרל מ-0 עד 1 של (x^2 - 2x + 5) dx = [x^3/3 - x^2 + 5x]_0^1 = (1/3 - 1 + 5) - 0 = 7/3. שטח בין הפונקציה למשיק מ-1 עד 3: אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 2x + 5 - (4x - 4)) dx = אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 6x + 9) dx = 8/3. סה״כ שטח = 7/3 + 8/3 = 5.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב משיק ושטח

שלבי מציאת משוואת המשיק וחישוב שטחים בתרגיל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שיפוע המשיק בנקודה x=3 / משוואת המשיק בנקודה זו / נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה-x /
נתון 1
נתון 1
y = x^2 - 2x + 5
נתון 2
נתון 2
x = 3 לנקודת המשיק
רעיון
הרעיון המרכזי
חישוב הנגזרת למציאת שיפוע המשיק, כתיבת משוואת המשיק, חישוב נקודת חיתוך ועל ידי אינטגרלים חישוב
נוסחה
שימוש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) לכתיבת y - 8 = 4(x - 3).
y - 8 = 4(x - 3)y - y0 = m(x - x0)y - y_0 = m(x - x_0)
משוואה
הצב x=3 בנגזרת: y'(3) = 2*3 -2 = 4.
הצב x=3 בנגזרת: y'(3) = 2*3 -2 = 4.
m = 2 * 3 - 2 = 4
פישוט
הציב y=0: 0 = 4x - 12 + 8 => 0 = 4x - 4, פתר ל-x = 1.
הציב y=0: 0 = 4x - 12 + 8 => 0 = 4x - 4, פתר ל-x = 1.
0 = 4x - 4 => x = 1
תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב y(3) = 3^2 - 2*3 + 5 = 8 לנקודה (3,8).
y(3) = 9 - 6 + 5 = 8

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה והנקודה

מה עושים

נתונה הפונקציה y = x^2 - 2x + 5 והנקודה x=3.

למה

הנקודה בה נחשב את השיפוע והמשיק ידועה מראש.

בחירת שיטה

חישוב נגזרת הפונקציה

מה עושים

גזור את הפונקציה לפי x לקבלת y' = 2x - 2.

למה

הנגזרת נותנת משוואת השיפוע בכל נקודה בגרף.

נוסחה / הצבה

y' = 2x - 2

זכור שזה נגזרת פונקציה פולינומית.

בניית משוואה

מציאת שיפוע המשיק

מה עושים

הצב x=3 בנגזרת: y'(3) = 2*3 -2 = 4.

למה

השיפוע במשיק שווה לנגזרת בנקודה.

נוסחה / הצבה

m = 2 * 3 - 2 = 4

וודא הצבה נכונה.

בניית משוואה

מציאת נקודת המשיק

מה עושים

חשב y(3) = 3^2 - 2*3 + 5 = 8 לנקודה (3,8).

למה

הנקודה כדי לכתוב משוואת ישר במשיק.

נוסחה / הצבה

y(3) = 9 - 6 + 5 = 8

פתרון

כתיבת משוואת המשיק

מה עושים

שימוש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) לכתיבת y - 8 = 4(x - 3).

למה

משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה נתונה.

נוסחה / הצבה

y - 8 = 4(x - 3)y - y0 = m(x - x0)y - y_0 = m(x - x_0)

סדר את המשוואה לפישוט.

פתרון

חישוב חיתוך המשיק עם ציר x

מה עושים

הציב y=0: 0 = 4x - 12 + 8 => 0 = 4x - 4, פתר ל-x = 1.

למה

חיתוך המשיק מועיל להגדרת תחומי האינטגרל.

נוסחה / הצבה

0 = 4x - 4 => x = 1

פתרונות כלליים

מציאת שיפוע משיק לנקודה נתונה: הנגזרת: y' = 2x - 2. הצבה: y'(3) = 2*3 - 2 = 6 - 2 = 4.
מציאת משוואת המשיק לנקודה נתונה: y(3) = 3^2 - 2*3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8. שיפוע המשיק m = 4 (מהתרגיל הקודם). משוואת המשיק: y - 8 = 4(x - 3).
חיתוך המשיק עם ציר האיקס: 0 = 4x - 4 => 4x = 4 => x = 1.
חישוב שטח בין הפונקציה למשיק: שטח = אינטגרל מ-1 עד 3 של [x^2 - 2x + 5 - (4x - 4)] dx = אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 6x + 9) dx. פתרון האינטגרל: x^3/3 - 3x^2 + 9x בין 1 ל-3 = (27/3 - 27 + 27) - (1/3 - 3 + 9) = (9 - 27 + 27) - (0.33 - 3 + 9) = 9 - 6.33 = 2.67 = 8/3.
אינטגרלים וחישוב שטחים: שטח בין הפונקציה וציר x מ-0 עד 1: אינטגרל מ-0 עד 1 של (x^2 - 2x + 5) dx = [x^3/3 - x^2 + 5x]_0^1 = (1/3 - 1 + 5) - 0 = 7/3. שטח בין הפונקציה למשיק מ-1 עד 3: אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 2x + 5 - (4x - 4)) dx = אינטגרל מ-1 עד 3 של (x^2 - 6x + 9) dx = 8/3. סה״כ שטח = 7/3 + 8/3 = 5.

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ד4. שאלון 803 - פתרון מלא קיץ 17 מועד ב - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל חישוב משיק ושטח

מפת פתרון

למצוא שיפוע המשיק בנקודה x=3 / משוואת המשיק בנקודה זו / נקודת חיתוך המשיק עם ציר ה-x /

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

שימוש בנוסחה y - y0 = m(x - x0) לכתיבת y - 8 = 4(x - 3).

הצב x=3 בנגזרת: y'(3) = 2*3 -2 = 4.

הציב y=0: 0 = 4x - 12 + 8 => 0 = 4x - 4, פתר ל-x = 1.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה והנקודה

חישוב נגזרת הפונקציה

מציאת שיפוע המשיק

מציאת נקודת המשיק

כתיבת משוואת המשיק

חישוב חיתוך המשיק עם ציר x

פתרונות כלליים