שיעור המתמקד בפתרון תרגיל אינטגרלים הרלוונטי לבגרות 3 יחידות בנושא חישוב שטח בין גרפים של פונקציות על פני תחומים שונים, הכולל מציאת נקודות חיתוך, בניית משוואות, והפעלת אינטגרלים לחישוב השטח המבוקש.
לזהות נקודות חיתוך של גרף פונקציה עם הצירים.
למצוא נקודות חיתוך בין גרפים על ידי פתרון משוואות.
להגדיר משוואות ישרים במקביל לצירים.
לזכור ולהשתמש בנוסחאות לאינטגרל פונקציות חזקה.
להגדיר תחומי אינטגרציה על פי נקודות השינוי של הפונקציה.
להשתמש באינטגרלים מוגבלים לחישוב שטחים בין עקומות.
לאבחן מתי יש להחליף סדר של עליונות פונקציות בשטח המחושב.
הכרת הגרף ונקודות החיתוך: הזיכרון של גרף הפונקציה, מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה-Y והצגת ישר במקביל לציר ה-X בנקודה זו.
מציאת נקודות חיתוך בין גרפים: מציאת נקודות החיתוך בין גרף הפונקציה למשוואת קו ישר y=16, על ידי פתרון משוואות פולינומיות והבנת מעמדם הגרפי.

תרגול קצר

מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה-Y

רמת קושי: קל

ממתין

לפי הפונקציה y = -x^3 + 3x^2 + 16, מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה-Y.

נקודות חיתוךגרפיםצירים

רמז: זכור שבנקודת חיתוך עם הציר Y, x = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: (0,16)

נציב x = 0 בפונקציה: y = -0 + 0 + 16 = 16. לכן נקודת החיתוך A היא (0,16).

מציאת נקודת החיתוך עם ישר y=16

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודת החיתוך השנייה של גרף הפונקציה y = -x^3 + 3x^2 + 16 עם הישר y=16.

נקודות חיתוךפונקציות פולינומיות

רמז: השווה בין y של הפונקציה לבין 16 ופתור את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: (3,16)

השווה: 16 = -x^3 + 3x^2 + 16. ביטול 16 משני הצדדים: 0 = -x^3 + 3x^2. כלומר, 0 = x^2(3 - x). הפתרונות הם x=0 ו-x=3. x=0 היא נקודת החיתוך הראשונה, נקודת החיתוך השנייה היא x=3.

חישוב השטח בין גרפים עם החלפת עליונות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח בין גרף הפונקציה y = -x^3 + 3x^2 + 16 והישר y=16 בתחום x מ-0 ועד 4, כאשר החלפת עליונות מתרחשת בנקודה x=3.

אינטגרליםשטח בין עקומותחלוקת תחום

רמז: חלק את האינטגרציה לשני תחומים: 0 עד 3 ו-3 עד 4, והפעל אינטגרל של (פונקציה עליונה פחות תחתונה).

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח הכולל = 27/4 + 27/4 = 13.5

תחום ראשון (0 עד 3): הפונקציה היא עליונה, הישר תחתון. האינטגרל הוא ∫_0^3 [(-x^3 + 3x^2 +16) - 16] dx = ∫_0^3 (-x^3 +3x^2) dx. תחום שני (3 עד 4): הישר הוא עליון, הפונקציה תחתונה. האינטגרל הוא ∫_3^4 [16 - (-x^3 +3x^2 +16)] dx = ∫_3^4 (x^3 - 3x^2) dx. חשב את שני האינטגרלים וחבר את התוצאות.

תרגיל שלם בנושא שטח בין פונקציות

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן הפונקציה y = -x^3 + 3x^2 + 16 וגרף הישר y=16, חשב את השטח המוגבל בין הגרפים מגבולות x=0 עד x=4, כאשר נקודת החיתוך היא ב-x=3.

אינטגרליםשטח בין פונקציותבגרות

רמז: זהה נקודות חיתוך, חלק את האינטגרל לפי החלפת עליונות, וחשב סכום האינטגרלים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 13.5

1. נקודות חיתוך הן ב-x=0 וב-x=3 עם y=16. 2. שטח מחולק לשני אינטגרלים: מ-0 עד 3 ∫ (-x^3 + 3x^2 +16 -16) dx = ∫ (-x^3 + 3x^2) dx מ-3 עד 4 ∫ (16 - (-x^3 + 3x^2 + 16)) dx = ∫ (x^3 - 3x^2) dx 3. חישוב אינטגרלים: תחום ראשון: [(-x^4)/4 + x^3]_0^3 = (-81/4 + 27) = 27/4 תחום שני: [(x^4)/4 - x^3]_3^4 = (256/4 - 64) - (81/4 - 27) = (64-64) - (81/4 - 27) = 0 + 27 - 81/4 = 27/4 4. סכום השטחים: 27/4 + 27/4 = 54/4 = 13.5

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח בין גרף פונקציה וישר

תהליך חישוב שטח באזור מוגבל בין עקומות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח המוגבל בין שתי העקומות מ-x=0 עד x=4
נתון 1
נתון 1
y = -x^3 + 3x^2 +16
נתון 2
נתון 2
y=16 (ישר)
נתון 3
נתון 3
נקודות חיתוך ב-x=0 ו-x=3
רעיון
הרעיון המרכזי
מחלקים את תחום האינטגרציה לפי נקודות החלפת עליונות בין הפונקציות, מחשבים אינטגרל של ההפרש בין
נוסחה
אינטגרל מ-0 עד 3 של הפונקציה העליונה פחות התחתונה: ∫( (-x^3+3x^2+16) -16
אינטגרל מ-0 עד 3 של מינוס x בשלישית ועוד 3x בריבוע dx∫_0^3 (-x^3 +3x^2) dx_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx
משוואה
מציבים x=0 בפונקציה ומוצאים y=16.
מציבים x=0 בפונקציה ומוצאים y=16.
פישוט
משווים y של הפונקציה ל-16 ופותרים 0 = -x^3 + 3x^2.
משווים y של הפונקציה ל-16 ופותרים 0 = -x^3 + 3x^2.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נקודת חיתוך עם ציר Y

מה עושים

מציבים x=0 בפונקציה ומוצאים y=16.

למה

נקודת החיתוך A היא (0,16), בסיס להגדרת התחום.

-----------------

זיהוי נתונים

נקודת חיתוך עם הישר y=16

מה עושים

משווים y של הפונקציה ל-16 ופותרים 0 = -x^3 + 3x^2.

למה

מוצאים את נקודת החיתוך השנייה ב-x=3 כדי לחלק את תחום האינטגרציה.

-----------------

בחירת שיטה

חלק את תחום האינטגרציה

מה עושים

מחלקים את תחום x ל-0 עד 3 ו-3 עד 4, על פי נקודות החיתוך.

למה

בהתאם להחלפת עליונות הפונקציות יש לבחור פונקציה עליונה בכל תחום.

-----------------

בניית משוואה

כתוב את אינטגרל השטח הראשון

מה עושים

אינטגרל מ-0 עד 3 של הפונקציה העליונה פחות התחתונה: ∫( (-x^3+3x^2+16) -16 ) dx

למה

כאשר הפונקציה היא עליונה והישר תחתון בחלק זה.

פשיטת ביטוי לפונקציה הפנימית.

נוסחה / הצבה

אינטגרל מ-0 עד 3 של מינוס x בשלישית ועוד 3x בריבוע dx∫_0^3 (-x^3 +3x^2) dx_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx

פשט כדי להקל על החישוב.

בניית משוואה

כתוב את אינטגרל השטח השני

מה עושים

אינטגרל מ-3 עד 4 של הפונקציה העליונה פחות התחתונה: ∫(16 - (-x^3 +3x^2 +16)) dx

למה

כאשר הישר הוא עליון והפונקציה תחתונה בחלק זה.

פשיטת ביטוי לפונקציה הפנימית.

נוסחה / הצבה

אינטגרל מ-3 עד 4 של x בשלישית פחות 3x בריבוע dx∫_3^4 (x^3 - 3x^2) dx_3^4 (x^3 - 3x^2) dx

עבר לפישוט חיוני לחישוב מהיר.

פתרון

חשב את האינטגרלים

מה עושים

חשב אינטגרל ראשון ∫(-x^3+3x^2) dx וכתוב את התוצאה מנקודת הגבול 0 ל-3, וכן השני מ-3 ל-4.

למה

חישוב ערכים מדויקים לכל אינטגרל כדי לקבל שטחים חלקיים.

שימוש בנוסחת אינטגרל לחזקות וטכניקות אלגבריות.

פתרונות כלליים

מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה-Y: נציב x = 0 בפונקציה: y = -0 + 0 + 16 = 16. לכן נקודת החיתוך A היא (0,16).
מציאת נקודת החיתוך עם ישר y=16: השווה: 16 = -x^3 + 3x^2 + 16. ביטול 16 משני הצדדים: 0 = -x^3 + 3x^2. כלומר, 0 = x^2(3 - x). הפתרונות הם x=0 ו-x=3. x=0 היא נקודת החיתוך הראשונה, נקודת החיתוך השנייה היא x=3.
חישוב השטח בין גרפים עם החלפת עליונות: תחום ראשון (0 עד 3): הפונקציה היא עליונה, הישר תחתון. האינטגרל הוא ∫_0^3 [(-x^3 + 3x^2 +16) - 16] dx = ∫_0^3 (-x^3 +3x^2) dx. תחום שני (3 עד 4): הישר הוא עליון, הפונקציה תחתונה. האינטגרל הוא ∫_3^4 [16 - (-x^3 +3x^2 +16)] dx = ∫_3^4 (x^3 - 3x^2) dx. חשב את שני האינטגרלים וחבר את התוצאות.
תרגיל שלם בנושא שטח בין פונקציות: 1. נקודות חיתוך הן ב-x=0 וב-x=3 עם y=16. 2. שטח מחולק לשני אינטגרלים: מ-0 עד 3 ∫ (-x^3 + 3x^2 +16 -16) dx = ∫ (-x^3 + 3x^2) dx מ-3 עד 4 ∫ (16 - (-x^3 + 3x^2 + 16)) dx = ∫ (x^3 - 3x^2) dx 3. חישוב אינטגרלים: תחום ראשון: [(-x^4)/4 + x^3]_0^3 = (-81/4 + 27) = 27/4 תחום שני: [(x^4)/4 - x^3]_3^4 = (256/4 - 64) - (81/4 - 27) = (64-64) - (81/4 - 27) = 0 + 27 - 81/4 = 27/4 4. סכום השטחים: 27/4 + 27/4 = 54/4 = 13.5

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ג4. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 18 - תרגיל 5 - אינטגרלים שטח - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חישוב שטח בין גרף פונקציה וישר

מפת פתרון

למצוא השטח המוגבל בין שתי העקומות מ-x=0 עד x=4

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

אינטגרל מ-0 עד 3 של הפונקציה העליונה פחות התחתונה: ∫( (-x^3+3x^2+16) -16

מציבים x=0 בפונקציה ומוצאים y=16.

משווים y של הפונקציה ל-16 ופותרים 0 = -x^3 + 3x^2.

פתרון מפורט

נקודת חיתוך עם ציר Y

נקודת חיתוך עם הישר y=16

חלק את תחום האינטגרציה

כתוב את אינטגרל השטח הראשון

כתוב את אינטגרל השטח השני

חשב את האינטגרלים

פתרונות כלליים