השיעור מתמקד ביישום נגזרות לחקירת פונקציה, מציאת נקודות קיצון, משוואות משיקים ונקודות חיתוך בין משיקים.
להכיר את חוקי הנגזרות הבסיסיים
לחשב נגזרת של פונקציות פשוטות
למצוא נקודות קיצון של פונקציה
לחשב את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה נתונה
למצוא את נקודת החיתוך בין שני משיקים
חזרה על חוקי נגזרות בסיסיים: זכרון חוקי הנגזרות: נגזרת של מספר קבוע היא 0, נגזרת של x בחזקה ח היא ח כפול x בחזקה ח פחות 1.
נקודות קיצון ומשוואת משיק: בנקודות הקיצון השיפוע הוא 0 ולכן נגזרת הפונקציה בנקודות אלה היא 0. שימוש בשיפוע זה כדי למצוא משוואת משיק קו אופקי.
חישוב משיק בנקודה נתונה: הצבה בערך x הנתון בפונקציה לקבלת ערך y, חישוב שיפוע המשיק באמצעות הנגזרת, וכתיבת משוואת המשיק בנקודה.
מציאת נקודת החיתוך בין שני משיקים: שוויון משוואות שני המשיקים כדי למצוא את נקודת החיתוך ביניהם.

תרגול קצר

חישוב נגזרת של פונקציה חזקה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את הנגזרת של הפונקציה y = 4x^3

נגזרותחוק החזקהבסיסי

רמז: השתמש בכלל החזקה: להוריד את החזקה כפול x בחזקה פחות 1

פתרון מלא

תשובה סופית: הנגזרת היא 12x^2

d/dx (4x^3) = 4 * 3 * x^(3-1) = 12x^2

מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 - 12x + 20. מצא את משוואת המשיק בנקודה x=4

נגזרותמשוואת משיקבינוני

רמז: מצא את ערך הפונקציה בנקודה, חשב את הנגזרת בנקודה, השתמש בנוסחת המשיק

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -4x + 4

y(4) = 4^2 - 12*4 + 20 = 16 - 48 + 20 = -12; dy/dx = 2x -12; dy/dx|x=4 = 2*4 - 12 = 8 - 12 = -4; משוואת המשיק: y - (-12) = -4 (x - 4) => y + 12 = -4x + 16 => y = -4x + 4

מציאת נקודת חיתוך בין שני משיקים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

יש שתי משוואות משיקים: y = -16 ו-y = 3x + 8. מצא את נקודת החיתוך שלהם

משיקיםנקודת חיתוךמתקדם

רמז: השווה בין שתי המשוואות וחפש את ערך x המתאים

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך היא (-8, -16)

-16 = 3x + 8 3x = -16 - 8 3x = -24 x = -8 y = -16

מציאת משוואת משיק בקיצון ופישוט

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה y = x^2 - 12x + 20. מצא את משוואת המשיק בנקודת המקסימום שלה

נגזרותמשיקיםבגרות

רמז: השיפוע בנקודת מקסימום הוא 0. מצא ערך y בנקודה זו ומשוואת המשיק

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -16

נגזרת: dy/dx = 2x - 12 נקודת קיצון: 2x - 12 = 0 => x = 6 y(6) = 36 - 72 + 20 = -16 משוואת המשיק: y = -16 (משיק אופקי)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון מלא של תרגיל 4 – מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה

ג3, שאלון 803 חורף 2018

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המשיק בנקודה x=4
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = x^2 - 12x + 20
נתון 2
נתון 2
נקודה x=4
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את ערך הפונקציה בנקודה, נחשב את הנגזרת ונציב בנקודה כדי לקבל שיפוע, ואז נשתמש בנוסחה של
נוסחה
נציב x=4 בנגזרת: 2*4 - 12 = 8 - 12 = -4
שיפוע = -4
משוואה
d/dx (x^2 - 12x + 20) = 2x - 12
d/dx (x^2 - 12x + 20) = 2x - 12
נגזרת = 2x - 12
פישוט
משוואת המשיק: y - y1 = m (x - x1) כאשר y1 = f(4)
משוואת המשיק: y - y1 = m (x - x1) כאשר y1 = f(4)
תוצאה
מסיימים בתשובה
y(4) = 4^2 - 12*4 + 20 = 16 - 48 + 20 = -12
y(4) = -12

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והנקודה

מה עושים

y = x^2 - 12x + 20 ו-x = 4

למה

שם נקבע נקודת המשיק שאליה נחשב שיפוע ונקודה.

יש פונקציה והרצון למצוא משיק בנקודה ספציפית.

בחירת שיטה

השגת שיפוע המשיק

מה עושים

נחשב את הנגזרת ונציב x=4

למה

הנגזרת נותנת לנו את שיפוע המשיק בכל נקודה של הפונקציה.

הנגזרת היא ראשונית לכל חקר פונקציות ושיפועים.

בניית משוואה

נגזרת הפונקציה

מה עושים

d/dx (x^2 - 12x + 20) = 2x - 12

למה

הנגזרת היא סכום נגזרות של האיברים בפונקציה.

הכללים: נגזרת של x בחזקה 2 היא 2x, נגזרת של 12x היא 12.

נוסחה / הצבה

נגזרת = 2x - 12

זכור: נגזרת של מספר קבוע היא 0.

פתרון

חישוב השיפוע בנקודה

מה עושים

נציב x=4 בנגזרת: 2*4 - 12 = 8 - 12 = -4

למה

השיפוע בנקודה הוא הערך של הנגזרת בנקודה זו.

חישוב ישיר לפי הנוסחה.

נוסחה / הצבה

שיפוע = -4

פתרון

משוואת המשיק בנקודה

מה עושים

משוואת המשיק: y - y1 = m (x - x1) כאשר y1 = f(4)

למה

משוואת הישר עוקבת אחרי נקודת המגע והשיפוע.

צריך למצוא y1 לפני כתיבת המשוואה.

פתרון

חישוב y בנקודה x=4

מה עושים

y(4) = 4^2 - 12*4 + 20 = 16 - 48 + 20 = -12

למה

נדרש ערך y לנקודת המשיק במשוואה.

פישוט חזקות וכפל.

נוסחה / הצבה

y(4) = -12

פתרונות כלליים

חישוב נגזרת של פונקציה חזקה: d/dx (4x^3) = 4 * 3 * x^(3-1) = 12x^2
מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה: y(4) = 4^2 - 12*4 + 20 = 16 - 48 + 20 = -12; dy/dx = 2x -12; dy/dx|x=4 = 2*4 - 12 = 8 - 12 = -4; משוואת המשיק: y - (-12) = -4 (x - 4) => y + 12 = -4x + 16 => y = -4x + 4
מציאת נקודת חיתוך בין שני משיקים: -16 = 3x + 8 3x = -16 - 8 3x = -24 x = -8 y = -16
מציאת משוואת משיק בקיצון ופישוט: נגזרת: dy/dx = 2x - 12 נקודת קיצון: 2x - 12 = 0 => x = 6 y(6) = 36 - 72 + 20 = -16 משוואת המשיק: y = -16 (משיק אופקי)

הפריט הקודם הפריט הבא

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

ג3. שאלון 803 - פתרון מלא חורף 18 - תרגיל 4 - ניגזרת וחקירת פונקציה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

חזרות ופתרון בחינות

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון מלא של תרגיל 4 – מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה

מפת פתרון

למצוא משוואת המשיק בנקודה x=4

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נציב x=4 בנגזרת: 2*4 - 12 = 8 - 12 = -4

d/dx (x^2 - 12x + 20) = 2x - 12

משוואת המשיק: y - y1 = m (x - x1) כאשר y1 = f(4)

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה והנקודה

השגת שיפוע המשיק

נגזרת הפונקציה

חישוב השיפוע בנקודה

משוואת המשיק בנקודה

חישוב y בנקודה x=4

פתרונות כלליים