המשפט קובע שאם ישר במישור מאונך להיטל של משופע, אז הוא גם מאונך למשופע עצמו ולהיפך. המשפט קריטי להבנת מאונכיות במרחב והוא כל כלי עבודה חשוב בהנדסת המרחב.
להבין ולזכור את משפט שלושת הניצבים
לזהות מצבים שבהם ניתן להשתמש במשפט
להבין הוכחות בסיסיות למשפט בשני גישות
ליישם את המשפט בפתרון בעיות הנדסת מרחב
הצגת המשפט: משפט שלושת הניצבים קובע יחס מאונכיות בין ישר, היטל ומשופע במישור.
הסבר והמחשה: תיאור עם ציור ומפרס להסבר המשמעות הגיאומטרית של המשפט.
הוכחות: המשפט הוכח בשתי דרכים – באמצעות ישר חיתוך בין שני מישורים ודרך ישר שמונך לשני ישרים במישור.

תרגול קצר

זיהוי המאונכיות במשפט שלושת הניצבים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מישור ומשופע במישור. ישר במישור זה מאונך להיטל של המשופע. האם הישר הזה גם מאונך למשופע? נמקו.

הבנת משפטיםהנדסת המרחבמשפט שלושת הניצבים

רמז: השתמשו במשפט שלושת הניצבים – מה אומר המשפט במצב כזה?

פתרון מלא

תשובה סופית: כן, הישר מאונך למשופע.

לפי משפט שלושת הניצבים, אם ישר במישור מאונך להיטל של המשופע, אז הישר גם מאונך למשופע עצמו.

הוכחה מעשית של המשפט

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכיחו כי אם ישר במישור מאונך להיטל של משופע, אז הוא גם מאונך למשופע באמצעות מחשבה על מפרס שמכיל את הנורמל למישור.

הוכחותהנדסת המרחבגאומטריה תלת מימדית

רמז: זכרו שמפרס מאונך למישור והישר הוא חיתוך של שני מישורים מאונכים.

פתרון מלא

תשובה סופית: מכאן נובע שהישר מאונך למשופע.

מפרס שמכיל את הנורמל למישור מאונך למישור עצמו. לכן, ישר החיתוך בין שני מישורים מאונכים (המפרס והמישור) מאונך למישור ולמשופע שבו נמצא ההיטל.

יישום המשפט בשאלה מורכבת

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון משופע במישור ישר וישר במישור שמאונך להיטל של המשופע. חשבו את זווית המפגש בין הישר למשופע והסבירו מדוע זו זווית ישרה.

הנדסת המרחבמשפט שלושת הניצביםבחינה

רמז: השתמשו במשפט שלושת הניצבים ונסו להמחיש את היחסים בין הישרים וההיטל.

פתרון מלא

תשובה סופית: זווית המפגש היא 90 מעלות.

המשפט קובע שזווית המפגש היא 90 מעלות כי הישר במישור מאונך להיטל של המשופע ולכן גם למשופע עצמו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל זיהוי מאונכיות לפי משפט שלושת הניצבים

איך בודקים אם ישר במישור מאונך למשופע

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא האם הישר גם מאונך למשופע?
נתון 1
ישר במישור
נתון 2
משופע בתוך המישור
נתון 3
הישר מאונך להיטל של המשופע
רעיון
הרעיון המרכזי
להסביר בעזרת הגדרה של מפרס וכיצד הוא קשור לנורמל למישור ולמשופע.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הישר חיתוך בין שני מישורים הוא מאונך למישור ולמשופע.
הישר חיתוך בין שני מישורים הוא מאונך למישור ולמשופע.
פישוט
מכאן, הישר גם מאונך למשופע עצמו.
מכאן, הישר גם מאונך למשופע עצמו.

מכיוון שהוכחנו זאת על סמך מאונכיות הישר להיטל ולמפרס.

סיום התרגיל עם התשובה הנדרשת.

פתרונות כלליים

זיהוי המאונכיות במשפט שלושת הניצבים: לפי משפט שלושת הניצבים, אם ישר במישור מאונך להיטל של המשופע, אז הישר גם מאונך למשופע עצמו.
הוכחה מעשית של המשפט: מפרס שמכיל את הנורמל למישור מאונך למישור עצמו. לכן, ישר החיתוך בין שני מישורים מאונכים (המפרס והמישור) מאונך למישור ולמשופע שבו נמצא ההיטל.
יישום המשפט בשאלה מורכבת: המשפט קובע שזווית המפגש היא 90 מעלות כי הישר במישור מאונך להיטל של המשופע ולכן גם למשופע עצמו.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. הנדסת המרחב משפטים חשובים וכלי עבודה משפט שלושת הניצבים

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא האם הישר גם מאונך למשופע?

ישר במישור

משופע בתוך המישור

הישר מאונך להיטל של המשופע

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הישר חיתוך בין שני מישורים הוא מאונך למישור ולמשופע.

מכאן, הישר גם מאונך למשופע עצמו.

פתרון מפורט

הצגת הנתונים

הבנת המפרס

קישור המפרס למישור ולישר

מסקנה – מאונכיות הישר למשופע

סיכום התשובה

פתרונות כלליים