השיעור עוסק בהגדרות בסיסיות ובהבנת יחסי מאונכות בין ישרים ומישורים בהנדסת המרחב, תוך התעסקות במשפטים חשובים ובכתיבת יחסים מתמטיים בין ישרים במישור.
להכיר מושגים בסיסיים בהנדסת המרחב: מישור, ישרים מאונכים ונחתכים
להבין איך לנסח יחסים של מאונכות בין ישרים ומישורים במרחב
לזהות מתי ישר מאונך למישור ולהשלכות של כך
להתחיל להכיר שימוש בווקטורים לפתרון בעיות במרחב
מישור Pi ויישום ישרים במרחב: הגדרת מישור Pi ושני ישרים l1 ו-l2 שנמצאים במישור זה, כאשר l1 ו-l2 מאונכים למישור Pi ונחתכים בנקודה P.
מאונכות ויחסים בין ישרים: הגדרת ישר l3 המאונך ל-l1 ול-l2 והשפעות המאונכות למישור ולישרים שנמצאים בו.
הקשר בין הנדסת המרחב ובוקטורים: התחלה של שימוש בוקטורים להבנה ופתרון בעיות במרחב, תוך הבנה של וקטורים נורמליים למישור והקשרם לקוסינוסים.

תרגול קצר

הגדרת נקודת חיתוך של ישרים במישור

רמת קושי: קל

ממתין

ישנם שני ישרים l1 ו-l2 במישור Pi. שני הישרים מאונכים למישור וחותכים זה את זה בנקודה P. כתבו את הייצוג המתמטי של החתך.

הנדסת המרחבמישור ושרטוטיםכתיבת יחסים

רמז: זכרו שהזזה של סימנים היא אפשרית, יש גם ניסוח מילולי.

פתרון מלא

תשובה סופית: l1⊥Pi, l2⊥Pi, l1∩l2=P

נרשום כי l1 מאונך למישור Pi, וכן l2 מאונך למישור Pi, ו-l1 חותך את l2 בנקודה P. המתמטית, בכמה דרכים: l1⊥Pi, l2⊥Pi, l1∩l2=P.

חישוב מאונכות ישר l3 לשני ישרים במישור

רמת קושי: בינוני

ממתין

יש ישר l3 שמאונך ל-l1 ו-l2 שיושבים במישור Pi. מה ניתן ללמוד על הישר l3 ביחס למישור Pi ולכל הישרים בו?

הנדסת המרחבמאונכותהגדרות במרחב

רמז: הקשר בין ישר שמאונך לשני ישרים במישור למישור עצמו.

פתרון מלא

תשובה סופית: l3⊥Pi ולכל הישרים במישור Pi

אם l3 מאונך ל-l1 ו-l2, ששניהם נמצאים במישור Pi, אז l3 מאונך למישור Pi ולכל הישרים בו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פיתרון תרגיל: זיהוי מאונכות ישר למישור

זיהוי הישר המאונך למישור בעקבות מאונכות לשני ישרים במישור

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא היחס בין l3 למישור Pi / היחס בין l3 לשאר הישרים במישור Pi
נתון 1
l1 ו-l2 ישרים במישור Pi
נתון 2
l1 ו-l2 מאונכים למישור Pi
נתון 3
l1 ו-l2 חותכים זה את זה בנקודה P
רעיון
הרעיון המרכזי
כשיש ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור, הוא מאונך לכל המישור ולכל הישרים בו.
נוסחה
לנסח במספר דרכים את המאונכות של l3 למישור Pi
l3 מאונך ל-l1l3 מאונך ל-l2לכן l3 מאונך למישור Pi
משוואה
יש לזהות כי l1 ו-l2 נמצאים ביחד במישור Pi ונחתכים בנקודה P
יש לזהות כי l1 ו-l2 נמצאים ביחד במישור Pi ונחתכים בנקודה P
פישוט
לסכם כי l3 מאונך לכל הישרים במישור Pi
לסכם כי l3 מאונך לכל הישרים במישור Pi

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

ישרים l1 ו-l2 במישור Pi

מה עושים

יש לזהות כי l1 ו-l2 נמצאים ביחד במישור Pi ונחתכים בנקודה P

למה

מכאן נוזכר כי l1 ו-l2 הן ישרים שמשמשים בסיס להבנת המישור Pi

שני ישרים l1 ו-l2 נמצאים במישור Pi ונחתכים בנקודה P עמהן מגדירים את המישור

זיהוי נתונים

l3 מאונך ל-l1 ול-l2

מה עושים

נרשום שהישר l3 מאונך לשני הישרים l1 ול-l2

למה

ישירות אלה מבהירות את יחס המאונכות בין הישרים

l3 מאונך ל-l1 ול-l2, כלומר בכל נקודה חיתוך עם l1 ול-l2 הזווית היא 90 מעלות

בחירת שיטה

יחס ישר למישור לפי מאונכות לישרים

מה עושים

להסיק ש-l3 מאונך למישור Pi

למה

כאשר ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, הוא מאונך למישור עצמו

הקשר בין מאונכות ישרים במישור למישור עצמו מחייב שכל ישר המאונך לשני ישרים שבמישור יהיה גם מאונך למישור

בניית משוואה

כתיבת יחסי מאונכות

מה עושים

לנסח במספר דרכים את המאונכות של l3 למישור Pi

למה

להבהיר במילים ובסימנים את הקשר

l3⊥l1, l3⊥l2, לכן l3⊥Pi

נוסחה / הצבה

l3 מאונך ל-l1l3 מאונך ל-l2לכן l3 מאונך למישור Pi

פתרון

מסקנה סופית על l3

מה עושים

לסכם כי l3 מאונך לכל הישרים במישור Pi

למה

מאחר וריבוי ישרים במישור נקבע ע"י בסיס של שני ישרים, המאונכות ל-2 ישרים כאלה קובעת מאונכות למישור ולכל הישרים שבו

לכן l3 מאונך למישור Pi ולכל הישרים הנמצאים בו ואף למי שאינן במגע איתו (מצטלבים)

פתרונות כלליים

הגדרת נקודת חיתוך של ישרים במישור: נרשום כי l1 מאונך למישור Pi, וכן l2 מאונך למישור Pi, ו-l1 חותך את l2 בנקודה P. המתמטית, בכמה דרכים: l1⊥Pi, l2⊥Pi, l1∩l2=P.
חישוב מאונכות ישר l3 לשני ישרים במישור: אם l3 מאונך ל-l1 ו-l2, ששניהם נמצאים במישור Pi, אז l3 מאונך למישור Pi ולכל הישרים בו.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. הנדסת המרחב משפטים חשובים וכלי עבודה ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא היחס בין l3 למישור Pi / היחס בין l3 לשאר הישרים במישור Pi

l1 ו-l2 ישרים במישור Pi

l1 ו-l2 מאונכים למישור Pi

l1 ו-l2 חותכים זה את זה בנקודה P

הרעיון המרכזי

לנסח במספר דרכים את המאונכות של l3 למישור Pi

יש לזהות כי l1 ו-l2 נמצאים ביחד במישור Pi ונחתכים בנקודה P

לסכם כי l3 מאונך לכל הישרים במישור Pi

פתרון מפורט

ישרים l1 ו-l2 במישור Pi

l3 מאונך ל-l1 ול-l2

יחס ישר למישור לפי מאונכות לישרים

כתיבת יחסי מאונכות

מסקנה סופית על l3

פתרונות כלליים