וידאו · גדילה ודעיכה
א1. גדילה ודעיכה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא גדילה ודעיכה במתמטיקה ברמת 5 יח"ל. לומדים את נוסחת הגדילה והדעיכה, כיצד לחשב ערך משתנה לאחר שנים ובודקים מושגים כמו זמן מחצית חיים ותקופת דעיכה לערך.
- להבין את נוסחת הגדילה והדעיכה
- לחשב ערך לאחר מספר שנים במודל דועך
- לחשב זמן מחצית החיים בערך
- לפתור משוואות מעריכיות ולוגריתמיות
- להבין את משמעות המקדם בדעיכה ובגדילה
- הצגת הבעיה והנתונים: הצגת תרגיל על רכב שכבר מפסיד 10% מערכו בשנה מתוך ערך התחלתי של 120,000 ש"ח.
- נוסחת הגדילה והדעיכה: נוסחת הגדילה והדעיכה הינה f(t)=f(0) * (1 ± P/100)^t, כאשר P שלילי מייצג דעיכה.
- פתרון שאלות א', ב' וג': חישוב שווי הרכב לאחר 5 שנים, זמן מחצית החיים ומשך הזמן עד שהערך יגיע לרבע המקורי.
תרגול קצר
חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים
רמת קושי: קל
רכב עולות 120,000 ש"ח ומאבד 10% מערכו בכל שנה. מהו שווי הרכב אחרי 5 שנים?
רמז: השתמש בנוסחת הדעיכה f(t) = f(0) * 0.9^t כאשר t=5
פתרון מלא
תשובה סופית: 70859 ש"ח (בקירוב)
נציב f(0)=120000, מקדם הדעיכה 0.9, t=5. חישוב: 120000 * 0.9^5 = 120000 * 0.59049 = 70858.8 ש"ח בערך.
חישוב זמן מחצית החיים של הרכב
רמת קושי: בינוני
כמה שנים יקח עד שהרכב יגיע לשווי חצי מהמחיר ההתחלתי שלו?
רמז: השתמש במשוואה 0.9^t = 0.5 ופתור את t באמצעות לוגריתם
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-6.57 שנים
משוואה: 0.9^t = 0.5 לוקחים לוגריתם על בסיס 0.9 של שתי הצדדים: t = log 0.9 של 0.5 חישוב בערך: t ≈ 6.57 שנים.
זמן עד שהרכב יגיע לערך רבע המקורי
רמת קושי: מאתגר
כמה שנים ייקח עד שהרכב יגיע למחיר שהוא רבע מהמחיר ההתחלתי?
רמז: השווה 0.9^t ל-0.25 וחשב את t בלוגריתם
פתרון מלא
תשובה סופית: כ-13.16 שנים
משוואה: 0.9^t = 0.25 לוקחים את הלוגריתם על בסיס 0.9: t = log0.9 (0.25) חישוב: t ≈ 13.16 שנים.
דרך הפתרון
חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים
בעיה של דעיכת ערך עם מקדם דעיכה 0.9
מפת פתרון
- מטרה
למצוא שווי הרכב לאחר 5 שנים
- נתון 1
מחיר התחלתי: 120,000 ש"ח
- נתון 2
אחוז דעיכה שנתי: 10%
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את מקדם הדעיכה ונציב בנוסחה המעריכית לערך לאחר 5 שנים.
- נוסחה
נוסחת הערך לאחר t שנים היא: f(t)=f(0)*0.9^t.
f(t) = f(0) * 0.9^tf(t) = f(0) x 0.9^(t) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נציב f(0)=120,000 ו-t=5 ונחשב את f(5).
נציב f(0)=120,000 ו-t=5 ונחשב את f(5).
- תוצאה
מסיימים בתשובה
ערך הרכב לאחר 5 שנים הוא כ-70,859 ש"ח.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הערכת הערך ההתחלתי
זיהוי נתונים
הערכת הערך ההתחלתי
מה עושים
הערך ההתחלתי הוא 120,000 ש"ח.
למה
הבסיס לחישובים בהמשך הוא הערך ההתחלתי.
2זיהוי נתונים
אחוז הדעיכה השנתי
זיהוי נתונים
אחוז הדעיכה השנתי
מה עושים
הרכב מאבד 10% מערכו בכל שנה.
למה
משמעות האחוז היא ירידה בערך באחוז קבוע לאורך שנים.
3בחירת שיטה
חישוב מקדם הדעיכה
בחירת שיטה
חישוב מקדם הדעיכה
מה עושים
מקדם הדעיכה הוא 1 פחות אחוז הדעיכה חלקי 100.
למה
שימוש במקדם הדעיכה מפשטת את החישוב.
נוסחה / הצבה
מקדם דעיכה = 1 - (10/100) = 0.9עדיף לחשב את הערך הזה מראש.
4בניית משוואה
נוסחת החישוב
בניית משוואה
נוסחת החישוב
מה עושים
נוסחת הערך לאחר t שנים היא: f(t)=f(0)*0.9^t.
למה
הערך פוחת לחזקה t של מקדם הדעיכה.
נוסחה / הצבה
f(t) = f(0) * 0.9^tf(t) = f(0) x 0.9^(t)5פתרון
הצבת הערכים והחישוב
פתרון
הצבת הערכים והחישוב
מה עושים
נציב f(0)=120,000 ו-t=5 ונחשב את f(5).
למה
החישוב נותן את הערך המדויק לאחר 5 שנים.
נוסחה / הצבה
f(5) = 120000 * 0.9^5 = 120000 * 0.59049 = 70858.86תשובה
תוצאה סופית
תשובה
תוצאה סופית
מה עושים
ערך הרכב לאחר 5 שנים הוא כ-70,859 ש"ח.
למה
הערך מייצג את התוצאה הרצויה ביום סיום חמש שנים.
פתרונות כלליים
- חישוב שווי הרכב אחרי 5 שנים: נציב f(0)=120000, מקדם הדעיכה 0.9, t=5. חישוב: 120000 * 0.9^5 = 120000 * 0.59049 = 70858.8 ש"ח בערך.
- חישוב זמן מחצית החיים של הרכב: משוואה: 0.9^t = 0.5 לוקחים לוגריתם על בסיס 0.9 של שתי הצדדים: t = log 0.9 של 0.5 חישוב בערך: t ≈ 6.57 שנים.
- זמן עד שהרכב יגיע לערך רבע המקורי: משוואה: 0.9^t = 0.25 לוקחים את הלוגריתם על בסיס 0.9: t = log0.9 (0.25) חישוב: t ≈ 13.16 שנים.