וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806
ב11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806
ב12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806
ב13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806
ב14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה- תזכורת מ- 806
אינטגרל עם פונקציה מורכבת בשורש
רמת קושי: קל
חשבו את האינטגרל של ביטוי המשתנה בנוסחה f(x) = שורש ריבועי של x ברבוע ועוד x ועוד 3, באינטגרל של 1 חלקי השורש של הפונקציה.
רמז: השתמשו בהצבה t = f(x) ובהגדרת הדיפרנציאל dt.
תשובה סופית: ln(x^2 + x + 3) + c
נגדיר t = x^2 + x + 3, ואז dt = (2x + 1) dx. נחליף את האינטגרל ב- ∫ 1 על שורש t dt על ידי החלפת dx בביטוי של dt ו-f'(x). ניתן להמשיך לאינטגרל ln |t| + c. לאחר חישוב מחזירים את t לפונקציה המקורית.
כיצד לפתור אינטגרל של פונקציה מורכבת עם שורש
f(x) = x^2 + x + 3השתמש בשיטת הצבה כדי להחליף את משתנה האינטגרציה למשתנה פשוט יותר.
integral of 1 over square root of t times dt over f primeof x∫ 1 על שורש t dt/f'(x)(1)/(t) (dt)/(f'(x))נמצא אינטגרל של 1 חלקי שורש של f(x) לפי dx
האינטגרל של 1 חלקי t הוא ln |t| + c
urn to f of x ln absolute value f of x plus cפונקציה נתונה היא x^2 + x + 3
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
פונקציה נתונה היא x^2 + x + 3
למה
זוהי הפונקציה עליה מתבצעת ההצבה
אנחנו מעוניינים באינטגרל שמתבסס על פונקציה זו
זיהוי נתונים
מה עושים
נמצא אינטגרל של 1 חלקי שורש של f(x) לפי dx
למה
זה האינטגרל שהתרגיל מבקש לפתור
נרצה להשתמש בהצבה עבור ביטוי זה
בחירת שיטה
מה עושים
נגדיר t = f(x) ונחשב dt
למה
כדי להחליף את משתנה האינטגרציה לפשוט יותר
צריך להחליף את הביטוי במשתנה t עם נגזרותיו
נוסחה / הצבה
t = f(x)dt = f'(x) dxהרעיון הוא להחליף את כל הביטוי ב-t וב-dt כדי לקבל אינטגרל פשוט.
בניית משוואה
מה עושים
נחליף את האינטגרל ל־∫ 1 חלקי שורש t dt חלקי f'(x)
למה
קיבלנו ביטוי אינטגרל פשוט עם t, בהתאם להחלפה והנגזרת
לפי ההגדרה dt = f'(x) dx, נשנה את האינטגרל
נוסחה / הצבה
integral of 1 over square root of t times dt over f primeof x∫ 1 על שורש t dt/f'(x)(1)/(t) (dt)/(f'(x))בדוק שההחלפה נכונה ומתאימה לתחום ההגדרה.
פתרון
מה עושים
האינטגרל של 1 חלקי t הוא ln |t| + c
למה
זה אינטגרל מוכר ופשוט עם משתנה יחיד
מחזירים את הביטוי עם t לפונקציה המקורית
נוסחה / הצבה
integral 1 over t dt equals ln absolute value t plus c return to f of x ln absolute value f of x plus c∫ 1/t dt = ln|t| + cחזרה ל-f(x): ln|f(x)| + c(1)/(t) dt = |t| + cאם התחום חיובי, ניתן לוותר על סימן הערך המוחלט.