השיעור מתמקד בשיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים עם מכפלות של פונקציות וחזקות, כולל עבודה עם דיפרנציאל ופעולת גזירה להחלפת משתנה.
להבין וליישם את שיטת ההצבה באינטגרלים.
לכתוב ביטויים באמצעות סמלים חדשים ולהחליף משתנים.
להפעיל פעולת דיפרנציאל ולבצע גזירה על ביטויים מורכבים.
להבין כיצד לפשט אינטגרלים באמצעות הצבה.
לבצע בקרה של הפתרון על ידי נגזרת של התוצאה.
הקשר בין נגזרת למכפלה של פונקציות: הסבר על הקשר בין נגזרת של ביטוי עם חזקות לבין מכפלה של פונקציות שבהם מופיעה נגזרת פנימית.
שיטת ההצבה: איך להציב ביטוי מורכב באות חדשה T ולבצע גזירה ודיפרנציאל כדי להקל על האינטגרל.
פתרון האינטגרל באמצעות עצבה: יישום שיטת ההצבה לפתירת אינטגרל פשוט יותר המתקבל לאחר החלפת המשתנה.
בקרה באמצעות נגזרת: בדיקת התוצאה על ידי חישוב נגזרת לפתרון המוצע לוודא נכונות.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת T

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ x^2 dx כאשר x^3 - 2 = T.

שיטת הצבהאינטגרליםחזקותדיפרנציאל

רמז: הצג את הביטוי x^3 - 2 בתור T, ואז השתמש בדיפרנציאל כדי להחליף משתנים.

פתרון מלא

תשובה סופית: (1/15)(x^3 - 2)^5 + C

קבע T = x^3 - 2. גזור: dT = 3x^2 dx ולכן x^2 dx = dT / 3. האינטגרל הופך להיות ∫ T^4 * (1/3) dT = (1/3) ∫ T^4 dT. חשב אינטגרל של T^4 שקול ל(1/3) * (T^5 / 5) + C = (1/15) T^5 + C. בסוף החזר ל-x במקום T: (1/15)(x^3 - 2)^5 + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל עם הצבת T

שימוש בשיטת ההצבה לחישוב אינטגרל של x במכפלת חזקות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הערך של ∫ x^2 dx לפי ההצבה
נתון 1
נתון 1
T = x^3 - 2
נתון 2
נתון 2
dT = 3x^2 dx
רעיון
הרעיון המרכזי
החלפת ביטוי מסובך באות T ופישוט האינטגרל באמצעות דיפרנציאל.
נוסחה
גזור את T כדי לקבל dT = 3x^2 dx.
dT = 3 x^2 dxdT = 3x^2 dxdT = 3x^(2) dx
משוואה
הגדר T = x^3 - 2.
הגדר T = x^3 - 2.
פישוט
חשב ∫ T^4 dT = T^5 / 5 + C והכפל ב-1/3.
חשב ∫ T^4 dT = T^5 / 5 + C והכפל ב-1/3.
(1/3) * (T^5 / 5) + C = (1/15) T^5 + C(1)/(3) * (T^(5))/(5) + C = (1)/(15) T^(5) + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
החזיר T = x^3 - 2 לתוצאה הסופית: (1/15)(x^3 - 2)^5 + C.
(1/15) (x^3 - 2)^5 + C(1/15)(x^3 - 2)^5 + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

מה עושים

החזיר T = x^3 - 2 לתוצאה הסופית: (1/15)(x^3 - 2)^5 + C.

למה

כדי לקבל את התוצאה במונחי המשתנה המקורי.

סיום הפתרון באמצעות החזרת הביטוי המקורי.

נוסחה / הצבה

(1/15) (x^3 - 2)^5 + C(1/15)(x^3 - 2)^5 + C(1)/(15) (x^(3) - 2)^(5) + C

חשוב לוודא ביטול נכון של המשתנה הזמני.

פתרונות כלליים

אינטגרל עם הצבת T: קבע T = x^3 - 2. גזור: dT = 3x^2 dx ולכן x^2 dx = dT / 3. האינטגרל הופך להיות ∫ T^4 * (1/3) dT = (1/3) ∫ T^4 dT. חשב אינטגרל של T^4 שקול ל(1/3) * (T^5 / 5) + C = (1/15) T^5 + C. בסוף החזר ל-x במקום T: (1/15)(x^3 - 2)^5 + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הערך של ∫ x^2 dx לפי ההצבה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

גזור את T כדי לקבל dT = 3x^2 dx.

הגדר T = x^3 - 2.

חשב ∫ T^4 dT = T^5 / 5 + C והכפל ב-1/3.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

בחר ביטוי להצבה

חשב דיפרנציאל

החלף במשתנים חדשים

כתוב את האינטגרל מחדש

חשב את האינטגרל החד-משתני

החזר ל-x וקבל תשובה

פתרונות כלליים