שיעור זה מתמקד באינטגרלים מיוחדים באמצעות שיטת ההצבה, בדגש על אינטגרלים של ביטויים עם טנגנס וקוסינוס בריבוע. נלמד כיצד לזהות הצבה מתאימה ולהפוך אינטגרלים מסובכים לפשוטים בעזרת הצבה חכמה ומעקב אחר הנגזרות.
להבין את הקשר בין נגזרת של טנגנס לאינטגרל של 1 חלקי קוסינוס בריבוע
ליישם שיטת הצבה לפישוט אינטגרלים מורכבים
לחזור למשתנה המקורי לאחר ביצוע ההצבה
להפוך אינטגרלים של ביטויים טריגונומטריים לפשוטים יותר דרך הצבה ושימוש בנגזרות
הקשר בין טנגנס ונגזרת: הנגזרת של טנגנס היא אחד חלקי קוסינוס בריבוע, קשר חשוב להבנת ההצבה בפישוט אינטגרלים.
יישום שיטת ההצבה: ביצוע ההצבה: מגדירים T = טנגנס X, משתמשים בנגזרת כדי להחליף את ה־dX, ומפשטים את האינטגרל לאינטגרל פשוט של T.
פתרון האינטגרל והחזרה למשתנה X: חשבנו את האינטגרל על המשתנה T, ומחזירים אחר כך את התוצאה למשתנה המקורי X.

תרגול קצר

אינטגרל על טנגנס חלקי קוסינוס בריבוע

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של tan(x) חלקי cos^2(x) dx.

אינטגרליםשיטת ההצבהטריגונומטריה

רמז: הצא הצבה T=tan(x), ונצל שהנגזרת של tan(x) היא 1 חלקי cos^2(x).

פתרון מלא

תשובה סופית: (tan(x))^2 / 2 + C

הצבה: T = tan(x), לכן dT = 1/cos^2(x) dx. האינטגרל הופך ל: ∫ T dT = T^2 / 2 + C. הוחזר למשתנה המקורי: (tan(x))^2 / 2 + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל טנגנס חלקי קוסינוס בריבוע

אינטגרלים מיוחדים ושיטת ההצבה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את ערך האינטגרל המדויק
נתון 1
נתון 1
האינטגרל ∫ (tan x) / (cos^2 x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
נזהה שהנגזרת של tan x היא 1 חלקי cos בריבוע x ונשתמש בהצבה T=tan(x) כדי לפשט את האינטגרל.
נוסחה
החלף את האינטגרל ל־∫ T dT
integral (tan x / cos^2 x) dx = integral T dT∫ (tan x) / (cos^2 x) dx = ∫ T dT( x)/(^2 x) dx = T dT
משוואה
קבע T = tan(x)
קבע T = tan(x)
פישוט
חשב ∫ T dT = T^2 /2 + C
חשב ∫ T dT = T^2 /2 + C
integral T dT = T^2 / 2 + C∫ T dT = T^2 / 2 + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף את T חזרה בטנגנס X
(tan x)^2 / 2 + C(( x)^2)/(2) + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- הזיהוי הנכון של הצבת T
- חישוב מדויק של dT
- זהירות: שכחת להחליף את כל הביטוי ב־dT

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

זיהוי משתנה להצבה

מה עושים

קבע T = tan(x)

למה

טנגנס הוא פונקציה שקל להציב אותך בה לטובת הפישוט.

הגדר את המשתנה T בתור טנגנס של x כדי לקשר בין המשתנים.

זכור שזאת הצבה שתפשט את האינטגרל.

בחירת שיטה

חשב את נגזרת T

מה עושים

חשב dT = 1 / cos^2(x) dx

למה

כי הנגזרת של טנגנס X היא אחד חלקי cos בריבוע.

החלף את הביטוי של dT דרך נגזרת הטנגנס.

נוסחה / הצבה

dT = 1 / cos^2(x) * dxdT = 1 / cos^2(x) dxdT = (1)/(^2 x) dx

זהו המפתח להחלפת אינטגרלים.

בניית משוואה

השארת האינטגרל ב-T

מה עושים

החלף את האינטגרל ל־∫ T dT

למה

כי ההצבה מאפשרת ביטוי פשוט יותר שחישבו ישירות באינטגרלים רגילים.

השתמש בהצבה שקבענו כדי לכתוב את האינטגרל מול T.

נוסחה / הצבה

integral (tan x / cos^2 x) dx = integral T dT∫ (tan x) / (cos^2 x) dx = ∫ T dT( x)/(^2 x) dx = T dT

זהו הצעד המרכזי בפישוט האינטגרל.

פתרון

חשב את האינטגרל בפשטות

מה עושים

חשב ∫ T dT = T^2 /2 + C

למה

אינטגרל של T ביחס ל־T הוא חצי ריבוע T ועוד קבוע אינטגרציה.

חשב את האינטגרל כפעולת חיבור פונקציות פשוטות.

נוסחה / הצבה

integral T dT = T^2 / 2 + C∫ T dT = T^2 / 2 + CT dT = (T^2)/(2) + C

השתמש בחוקים בסיסיים לאינטגרלים חזקתיים.

תשובה

החזר למשתנה המקורי

מה עושים

החלף את T חזרה בטנגנס X

למה

כדי לקבל את התוצאה באותו משתנה כמו בשאלה המקורית.

נחלץ את הערך מהצבת T והצג את התוצאה הסופית.

נוסחה / הצבה

(tan x)^2 / 2 + C(( x)^2)/(2) + C

זכור להוסיף את קבוע האינטגרציה.

פתרונות כלליים

אינטגרל על טנגנס חלקי קוסינוס בריבוע: הצבה: T = tan(x), לכן dT = 1/cos^2(x) dx. האינטגרל הופך ל: ∫ T dT = T^2 / 2 + C. הוחזר למשתנה המקורי: (tan(x))^2 / 2 + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את ערך האינטגרל המדויק

נתון 1

הרעיון המרכזי

החלף את האינטגרל ל־∫ T dT

קבע T = tan(x)

חשב ∫ T dT = T^2 /2 + C

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

זיהוי משתנה להצבה

חשב את נגזרת T

השארת האינטגרל ב-T

חשב את האינטגרל בפשטות

החזר למשתנה המקורי

פתרונות כלליים