השיעור עוסק בחקירה של פונקציה לוגריתמית, בדגש על תחומי הגדרה, מציאת אוגנים (אסימפטוטות), וסימון האזורים על מערכת הצירים. מובאים ניתוחים באמצעות גבולות, שימוש במחשבון למציאת מגמות, והבנת ההתנהגות של הפונקציה בסביבת נקודות יחודיות.
לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית מורכבת
להבין ולזהות אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
לחשב גבולות כאשר המשתנה שואף לנקודות שונות בסביבת הפונקציה
לפרש תוצאות גבולות במערכת הצירים ולסמן אוגנים
להבין את חשיבות השימוש במחשבון לאינטואיציה
להגיב על שאלות בנוגע לחיתוך פונקציה עם צירים
תחום ההגדרה: הוגדר כי למחנה הפונקציה לא ייושם ערך אפס, וכי ה-ln מוגדר רק עבור ערכים חיוביים בלבד. קיימים ארבעה מקורות להגבלות בתחום ההגדרה, המחייבים בדיקה מעמיקה של תחומי הערכים האפשריים של x.
גבולות ואוגנים: נבדקים הגבולות של y כאשר x מתקרב ל-0, ל-1 ול-אינסוף. הגבולות מראים כי ל-0 ול-1 התנהגות אסימפטוטית, עם ערכים המטפסים או יורדים לאינסוף וכן נקבע כי אין אסימפטוטה אופקית נוספת.
חיתוך עם הצירים: הפונקציה אינה חותכת את ציר ה-y. חיתוך עם ציר x דורש פתרון משוואה מורכבת שלא נפתרת במסגרת השיעור, ולכן נדרשת סבלנות להמשך לימוד.

תרגול קצר

תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהפונקציה לוגריתמית

רמז: זכרו ש-ln מוגדר רק לערכים חיוביים, ותחום ההגדרה גם תלוי בכך שהמחנה לא יהיה אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא {x | x > 0 ו-x ≠ 1}

הפונקציה מורכבת משני לוגריתמים והמחנה חייב להיות שונה מאפס. לכן, x>0 ו-x שונה מ-1, כדי ש-ln(x) לא יהיה אפס במחנה. לפיכך תחום ההגדרה הוא כל x > 0 ו-x ≠ 1.

גבולות הסופי והאוגנים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בחנו את הגבולות של הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x) כאשר x שואף ל-0+, ל-1- ול-1+, ולכלל אינסוף.

גבולותאוגניםחקירה פונקציונלית

רמז: בדקו עבור כל נקודה האם הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי, שלילי או ערך סופי.

פתרון מלא

תשובה סופית: אוגנים אנכיים ב-x=0 ו-x=1; אין אוגן אופקי.

לפי חישובים: lim x→0+ f(x) = +∞, lim x→1- f(x) = +∞, lim x→1+ f(x) = -∞, lim x→∞ f(x) = -∞. מסקנה: קיימים אוגנים אנכיים ב-x=0 ו-x=1, ואין אוגן אופקי אלא התנהגות ל-∞ במינוס אינסוף.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת תחומי הגדרה ואוגנים של פונקציה לוגריתמית

מדריך פשוט להבנת הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / גבולות כאשר x שואף ל-0+, 1-, 1+, אינסוף / אזורי אסימפטוטות
נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = ln(1/x) - 1/ln(x)
רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות איפה הפונקציה מוגדרת, למצוא גבולות משמעותיים כדי לזהות אוגנים, ולסכם את התנהגות הפונקציה
נוסחה
קבע את התנאים על x בעקבות הלוגריתמים והמחנה
x > 0x different from 1x ≠ 1x > 0, x != 1
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב lim x→0+ f(x), lim x→1- f(x), lim x→1+ f(x) ו-lim x→∞ f(x)
חשב lim x→0+ f(x), lim x→1- f(x), lim x→1+ f(x) ו-lim x→∞ f(x)
lim x->0 plus f(x) = +infinitylim x->1 minus f(x) = +infinity
תוצאה
מסיימים בתשובה
נסה למצוא חיתוך עם ציר ה-x וה-y
ln(1 divided x) minus 1 divided ln(x) equals zeroln(1/x) - 1/ln(x) = 0
בדיקה
בדיקה קצרה
- הפעלת תנאי תחום ההגדרה
- חישוב גבולות חד-צדדיים
- זהירות: השמטת אילוצים בתחומי ההגדרה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת תחום ההגדרה

מה עושים

קבע את התנאים על x בעקבות הלוגריתמים והמחנה

למה

כל לוגריתם מוגדר ל- x>0, ומחנה שונה מאפס ל-ln(x)

מזהים ש-x חייב להיות חיובי וש-ln(x) שונה מאפס (כלומר x ≠ 1)

נוסחה / הצבה

x > 0x different from 1x ≠ 1x > 0, x != 1

תחום ההגדרה הוא מספרים חיוביים פרט ל-1

בחירת שיטה

בדיקת גבולות קריטיים

מה עושים

חשב גבולות של הפונקציה כאשר x מתקרב ל-0+ ול-1- ול-1+

למה

גבולות אלו יקבעו אם קיימים אוגנים אנכיים

בדיקת ערכי הפונקציה במקובל ובמחשבון במגבלות אלו

השתמש במחשבון כדי לראות את מגמת הערך

פתרון

חישוב הגבולות

מה עושים

חשב lim x→0+ f(x), lim x→1- f(x), lim x→1+ f(x) ו-lim x→∞ f(x)

למה

כדי לקבוע את התנהגות הפונקציה והאסימפטוטות

נמצא ש: lim x→0+ = +∞, lim x→1- = +∞, lim x→1+ = -∞, lim x→∞ = -∞

נוסחה / הצבה

lim x->0 plus f(x) = +infinitylim x->1 minus f(x) = +infinitylim x→0+ f(x) = +∞lim x→1- f(x) = +∞_x0^+ f(x) = +

גבולות שואפים לאינסוף מציינים אסימפטוטות אנכיות

פתרון

סיכום האוגנים

מה עושים

סמן אוגנים אנכיים ב-x=0 ו-x=1; אין אוגן אופקי

למה

מאחר שהגבולות לא שואפים לערך סופי, אלא לאינסוף בערכים השונים

סמן בקו ורטיקלי את האוגנים במערכת הצירים בהתאם

הדגש שקיים התנהגות אסימפטוטית סביב נקודות אלו

בדיקה

בדיקת חיתוך עם הצירים

מה עושים

נסה למצוא חיתוך עם ציר ה-x וה-y

למה

להבין את הנקודות שבהן הפונקציה חוצה את הצירים

אין חיתוך עם ציר y כי התחום חיובי בלבד, חיתוך עם ציר x לא פתור בשלב זה

נוסחה / הצבה

ln(1 divided x) minus 1 divided ln(x) equals zeroln(1/x) - 1/ln(x) = 0

זו משוואה מורכבת שלא נפתרה במשימה זו

פתרונות כלליים

תחום ההגדרה של הפונקציה: הפונקציה מורכבת משני לוגריתמים והמחנה חייב להיות שונה מאפס. לכן, x>0 ו-x שונה מ-1, כדי ש-ln(x) לא יהיה אפס במחנה. לפיכך תחום ההגדרה הוא כל x > 0 ו-x ≠ 1.
גבולות הסופי והאוגנים: לפי חישובים: lim x→0+ f(x) = +∞, lim x→1- f(x) = +∞, lim x→1+ f(x) = -∞, lim x→∞ f(x) = -∞. מסקנה: קיימים אוגנים אנכיים ב-x=0 ו-x=1, ואין אוגן אופקי אלא התנהגות ל-∞ במינוס אינסוף.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. חקירה של פונקציה לוגריתמית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / גבולות כאשר x שואף ל-0+, 1-, 1+, אינסוף / אזורי אסימפטוטות

נתון 1

הרעיון המרכזי

קבע את התנאים על x בעקבות הלוגריתמים והמחנה

נבנה משוואה

חשב lim x→0+ f(x), lim x→1- f(x), lim x→1+ f(x) ו-lim x→∞ f(x)

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת תחום ההגדרה

בדיקת גבולות קריטיים

חישוב הגבולות

סיכום האוגנים

בדיקת חיתוך עם הצירים

פתרונות כלליים