בשיעור זה לומדים כיצד לחקור פונקציה לוגריתמית תוך הבנת תחום ההגדרה, חישוב אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות חיתוך עם הצירים, ועוגנים מרכזיים לציור אינטואיטיבי.
להכיר כיצד לחשב תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית
לזהות את האסימפטוטות העומדות בפונקציה
לחשב נקודות חיתוך עם ציר ה-X וציר ה-Y
להבין ולבצע בדיקות גבול (ממעלות) בעזרת גבולות ימניים ושמאליים
לצייר באינטואיציה את התנהגות הפונקציה בהתאם לתחום ההגדרה והאסימפטוטות
תחום הגדרה: מזהים את הערכים האפשריים ל-x בעזרת אי שוויון X בריבוע פחות 4 גדול מאפס, וממקמים את תחום ההגדרה על ציר המספרים.
גבולות ואסימפטוטות: חישוב גבולות התכנסות של הפונקציה כאשר x שואף לנקודות מפתח (2 ומינוס 2) ואינסוף, ובכך מניחים את אסימפטוטות הפונקציה – אופקית ואנכית.
חיתוך עם הצירים: מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה-Y על ידי הצבת x=0, וחיתוך עם ציר ה-X על ידי פתרון המשוואה y=0 תוך התייחסות למכנה ולמונה בנפרד.
צורות וגרפים אינטואיטיביים: שילוב כל המידע בחקירת הפונקציה כדי להבין את התנהגות הגרף, סימטריה ותחום ההגדרה, והכנה להמשך חקירה מורכבת הכוללת נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה.

תרגול קצר

קביעת תחום ההגדרה לפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה עם ביטוי הכולל שורש או פונקציה לוגריתמית. קבעו את תחום ההגדרה על סמך אי שוויון x² - 4 > 0.

תחום_הגדרהאי_שוויוןפונקציה_לוגריתמית

רמז: פתרו את האי שוויון (x-2)(x+2) > 0 – שימו לב לסימנים ותחומי שיירים.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא כל x שבו x < -2 או x > 2.

פתרון האי שוויון מביא ל-x < -2 או x > 2. לכן תחום ההגדרה הוא: (-∞, -2) ∪ (2, ∞).

חישוב גבולות ונקודות אסימפטוטה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פונקציה בתחום ההגדרה שהוגדר לעיל. חשבו את הגבולות כאשר x שואף ל-2 מימין ומשמאל, וכן למינוס אינסוף ואינסוף. זיהו אסימפטוטות אנכיות ואופקיות במערכת הצירים.

אסימפטוטותגבולותחקירת_פונקציה

רמז: בדקו את הערכים אליהם פונקציית f(x) שואפת בנקודות x=2 ומאינסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטה אנכית ב-x=2, אסימפטוטה אופקית ב-y=0.

לפי החישובים, הפונקציה שואפת למינוס אינסוף מימין ומשמאל לנקודה x=2 – אסימפטוטה אנכית ב-x=2. כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף, y שואף ל-0 – אסימפטוטה אופקית y=0.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה לוגריתמית: תחום הגדרה וגבולות אסימפטוטיים

מיפוי הכנת תחום ההגדרה ומציאת גבולות לנקודות קריטיות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / הגבולות של f(x) ב- x→2⁺, x→2⁻, x→∞, x→−∞
נתון 1
נתון 1
אי שוויון תחום הגדרה: x² - 4 > 0
נתון 2
פונקציה לוגריתמית מוגדרת בתחום זה
נתון 3
נתון 3
נדרש לבדוק גבולות בנקודות x=2, x=−2, x→±∞
רעיון
הרעיון המרכזי
נפתור תחום הגדרה משוויון אי שוויון, נסמן אותו במערכת הצירים, ולאחר מכן נחשב גבולות ימניים
נוסחה
נתון שהפונקציה מוגדרת כש-x² -4 > 0
x^2 - 4 > 0x² - 4 > 0
משוואה
פתור את אי השוויון וקבע את התחום
פתור את אי השוויון וקבע את התחום
פישוט
חשב את הגבולות ב-x=2 מימין ומשמאל, ובאינסוף
חשב את הגבולות ב-x=2 מימין ומשמאל, ובאינסוף
lim x->2 plus f(x) = -infinitylim x->2 minus f(x) = -infinity

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

אי שוויון תחום הגדרה

מה עושים

נתון שהפונקציה מוגדרת כש-x² -4 > 0

למה

תחום ההגדרה נקבע מערכי x המקיימים אי שוויון זה

לפונקציה אין ערך אם הביטוי מתחת ללוגריתם אינו חיובי

נוסחה / הצבה

x^2 - 4 > 0x² - 4 > 0

חפש איפה הביטוי חיובי

זיהוי נתונים

פונקציה לוגריתמית בתחום

מה עושים

הפונקציה קיימת רק כש-x בתוך התחום שנמצא

למה

לתחום ההגדרה השפעה על תחום הפונקציה

נרצה להגדיר את תחום x המותרים בחקירה

בחירת שיטה

פתרון אי שוויון

מה עושים

נפרק את אי השוויון ונפתור אותו

למה

כדי למצוא את תחומי x בהם הביטוי גדול מאפס

פירוק לאפס נקודות המבטא את כלי הפתרון

נוסחה / הצבה

(x - 2)(x + 2) > 0

הביטוי מתחלף סימן בנקודות -2 ו-2

בניית משוואה

נסמן תחום ההגדרה

מה עושים

פתור את אי השוויון וקבע את התחום

למה

תחום לפתיחת הפונקציה

אי שוויון גדאור מביא לתחום x < -2 או x > 2

פתרון

בדיקת גבולות

מה עושים

חשב את הגבולות ב-x=2 מימין ומשמאל, ובאינסוף

למה

כדי לזהות אסימפטוטות אנכיות ואופקיות

גבולות מראים התנהגות של הפונקציה בקרבת נקודות קריטיות

נוסחה / הצבה

lim x->2 plus f(x) = -infinitylim x->2 minus f(x) = -infinitylim x->infinity f(x) = 0lim x-> minus infinity f(x) = 0lim x→2⁺ f(x) = -∞

בדוק את ההתנהגות מצד ימין ושמאל

תשובה

סיכום התוצאות

מה עושים

תחום ההגדרה הוא x < -2 או x > 2; יש אסימפטוטה אנכית ב-x=2 ואופקית ב-y=0

למה

כל הממצאים מאפשרים להבין את הפונקציה

בהמשך ניתן לשלב זאת בציור הפונקציה עם עוגנים ואסימפטוטות

פתרונות כלליים

קביעת תחום ההגדרה לפונקציה: פתרון האי שוויון מביא ל-x < -2 או x > 2. לכן תחום ההגדרה הוא: (-∞, -2) ∪ (2, ∞).
חישוב גבולות ונקודות אסימפטוטה: לפי החישובים, הפונקציה שואפת למינוס אינסוף מימין ומשמאל לנקודה x=2 – אסימפטוטה אנכית ב-x=2. כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף, y שואף ל-0 – אסימפטוטה אופקית y=0.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. חקירה של פונקציה לוגריתמית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / הגבולות של f(x) ב- x→2⁺, x→2⁻, x→∞, x→−∞

נתון 1

פונקציה לוגריתמית מוגדרת בתחום זה

נתון 3

הרעיון המרכזי

נתון שהפונקציה מוגדרת כש-x² -4 > 0

פתור את אי השוויון וקבע את התחום

חשב את הגבולות ב-x=2 מימין ומשמאל, ובאינסוף

פתרון מפורט

אי שוויון תחום הגדרה

פונקציה לוגריתמית בתחום

פתרון אי שוויון

נסמן תחום ההגדרה

בדיקת גבולות

סיכום התוצאות

פתרונות כלליים