MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

א6. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת השורש הריבועי

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
1 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א2. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית חזקות בלוק ארבע

וידאו

א3. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולות חשבון

וידאו

א4. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולות חשבון

וידאו

א5. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת החילוק

וידאו

א6. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת השורש הריבועי

וידאו

א7. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת השורש הריבועי

וידאו

א8. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

א9. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

א10. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

ב1. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב2. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב3. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב4. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב5. הצגה טריגונומטרית

סיכום שיעור

  • בשיעור זה לומדים כיצד להוציא שורש ריבועי ממספר מרוכב בצורת a+bi, באמצעות ניתוח החלקים הממשיים והמדומים והצבת מייצג בצורת x+yi ופיתרון משוואות לנעלמים.
  • להבין כיצד להציג מספר מרוכב בצורת x + yi
  • ללמוד כיצד להחליף שורש ריבועי של מספר מרוכב בביטוי x + yi
  • לרכוש מיומנות בפתרון מערכות משוואות שמתאימות לחלקים הממשיים והמדומים
  • לתרגל בדיקת נכונות תוצאה בעזרת העלאת הריבוע למקור
  • מבוא והגדרה: הצגה של המספר המרוכב x + yi כאשר x,y הם מספרים ממשיים, והצגת המטרה - להוציא שורש ריבועי ממספר מרוכב.
  • יצירת משוואות לחלקים הממשיים והמדומים: על ידי העלאת בביטוי x + yi בריבוע, מתקבל ביטוי עם חלק ממשי וחלק מדומה שמהווים משוואות נפרדות שיש לפתור.
  • פתרון המשוואות ובדיקת נכונות: פתרון מערכת המשוואות שהיא משוואה ריבועית ב-y, מציאת ערכי x,y, כולל בירור סימנים שונים ובדיקת נכונות התוצאה על ידי העלאת הריבוע

תרגול קצר

הוצאת שורש ריבועי למספר 21 + 20i

רמת קושי: קל

ממתין

הוצא שורש ריבועי למספר המרוכב 21 + 20i, באמצעות הצבת x + yi והצבת ערכים במערכת משוואות. מצא את x ו-y.

שברשורש ריבועימספרים מרוכבים

רמז: הציבו \n (x + yi)^2 וכפלו לפי נוסחת כפל מספרים מרוכבים, השוו את החלקים הממשיים והמדומים בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5 + 2i או -5 - 2i

נניח ששורש הריבועי הוא x+yi. כך שקיים שוויון: (x+yi)^2 = 21 + 20i. פה נפתח את הביטוי: (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi. השוו ממשיים: x^2 - y^2 = 21 השוו מדומים: 2xy = 20 => xy = 10 נבודד x = 10/y ונציב במשוואה הראשונה: (10/y)^2 - y^2 = 21 100/y^2 - y^2 = 21 נעביר אגפים ונכפיל ב-y^2: 100 - y^4 = 21 y^2 נעביר ונקבל: y^4 + 21 y^2 - 100 = 0 נציב t = y^2 ונקבל: t^2 + 21 t - 100 = 0 נפתור משוואה ריבועית ב-t: t = [-21 +- sqrt(441 + 400)]/2 = [-21 +- 29]/2 קבלנו פתרון חיובי t=4 לכן y^2=4 => y= +- 2 x=10/y => x=5 או x=-5 התשובות הן 5+2i או -5-2i

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון להוצאת שורש ריבועי למספר מרוכב

דוגמא לתרגיל שורש ריבועי של 21 + 20i

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא x / y / כאשר שורש = x + yi

  2. נתון 1

    המספר המרוכב 21 + 20i

  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להציב x + yi, להעלות בריבוע, להשוות בין החלקים הממשיים והמדומים, ולפתור מערכת משוואות.

  4. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  5. משוואה

    השוות את החלק הממשי לשוויון, ואת החלק המדומה בנפרד.

    השוות את החלק הממשי לשוויון, ואת החלק המדומה בנפרד.

  6. פישוט

    מבצעים ביטוי של x על פי y, מציבים במשוואה ומוצאים y.

    מבצעים ביטוי של x על פי y, מציבים במשוואה ומוצאים y.

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    ממלאים את x ו-y ומחשבים (x+yi)^2 לוודא שווה למקור.

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • להגדיר נכון את ביטוי השורש בצורת x+yi.
    • לרשום נכון את המשוואות על ידי השוואה לחלקים הממשיים והמדומים.
    • זהירות: שכחת להשוות בין החלקים הממשיים והמדומים בנפרד.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת המטרה והנתונים

מה עושים

נתון מספר מרוכב 21 + 20i ומבקשים להוציא שורש ריבועי בצורת x + yi.

למה

הבנת הבעיה כדי להתחיל פתרון.

יש לנו מספר מרוכב ונרצה למצוא x,y ממשיים כך ש (x+yi)^2 = 21 + 20i.

2

בחירת שיטה

הנחת ביטוי והעלאת ריבוע

מה עושים

נניח שהשורש הוא x + yi ונעלה בריבוע.

למה

כך נקבל משוואה המקשרת בין x,y למספר הנתון.

(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi

נוסחה / הצבה

(x + y i)^2 = x^2 - y^2 + 2 x y i(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xy i

לפזר את הריבוע לפי חוקי הכפל.

3

בניית משוואה

השוואת החלקים הממשיים והמדומים

מה עושים

השוות את החלק הממשי לשוויון, ואת החלק המדומה בנפרד.

למה

כל חלק מקבל משוואה שונה ויש לפתור את שתיהן יחד.

x^2 - y^2 = 21 2xy = 20

זהה את המשוואות בנפרד לחלקים.

4

פתרון

פתרון מערכת המשוואות

מה עושים

מבצעים ביטוי של x על פי y, מציבים במשוואה ומוצאים y.

למה

כדי לקבל ערכים ממשיים ל-x ול-y.

xy = 10 => x = 10/y נציב במשוואה: x^2 - y^2 = 21 100/y^2 - y^2 = 21 נקבל משוואה רבועית ב-y^2 ופותרים אותה.

פתור משוואה ריבועית עבור y^2.

5

פתרון

קבלת ערכי x ו-y

מה עושים

מחשבים y מהמשוואה, ואז x=10/y.

למה

מציאת שתי הפתרונות של השורש.

y^2 = 4 => y = +-2 x = 10 / y => 5 או -5

זכור לבדוק סימן חיובי ושלילי.

6

בדיקה

בדיקת נכונות התוצאה

מה עושים

ממלאים את x ו-y ומחשבים (x+yi)^2 לוודא שווה למקור.

למה

בדיקת תקינות הפתרון ומניעת טעויות.

(5 + 2i)^2 = 25 -4 + 20i = 21 + 20i

חשוב לוודא תוצאה מדויקת.

פתרונות כלליים

  • הוצאת שורש ריבועי למספר 21 + 20i: נניח ששורש הריבועי הוא x+yi. כך שקיים שוויון: (x+yi)^2 = 21 + 20i. פה נפתח את הביטוי: (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi. השוו ממשיים: x^2 - y^2 = 21 השוו מדומים: 2xy = 20 => xy = 10 נבודד x = 10/y ונציב במשוואה הראשונה: (10/y)^2 - y^2 = 21 100/y^2 - y^2 = 21 נעביר אגפים ונכפיל ב-y^2: 100 - y^4 = 21 y^2 נעביר ונקבל: y^4 + 21 y^2 - 100 = 0 נציב t = y^2 ונקבל: t^2 + 21 t - 100 = 0 נפתור משוואה ריבועית ב-t: t = [-21 +- sqrt(441 + 400)]/2 = [-21 +- 29]/2 קבלנו פתרון חיובי t=4 לכן y^2=4 => y= +- 2 x=10/y => x=5 או x=-5 התשובות הן 5+2i או -5-2i
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.