MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

א4. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולות חשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
וידאו

א1. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית הגדרות

וידאו

א2. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית חזקות בלוק ארבע

וידאו

א3. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולות חשבון

וידאו

א4. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולות חשבון

וידאו

א5. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת החילוק

וידאו

א6. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת השורש הריבועי

וידאו

א7. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פעולת השורש הריבועי

וידאו

א8. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

א9. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

א10. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

וידאו

ב1. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב2. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב3. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב4. הצגה טריגונומטרית

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד על חזקות חשובות של מספרים מרוכבים, בעיקר הביטויים (1+i) בחזקות שונות ו(1−i) בחזקות שונות, ונבין איך לחשב אותן ולהשתמש בהן בפישוט ביטויים אלגבריים.
  • להכיר חזקות חשובות של מספרים מרוכבים: 1+i, 1−i בחזקות שונות
  • להבין איך לפתוח סוגריים ולפשט ביטויים הכוללים מספרים מרוכבים וחזקות
  • להיות מסוגלים לבצע חישובים עם חזקות מספרים מרוכבים בחישובים אלגבריים
  • להכיר את העובדה ש-i בריבוע שווה מינוס אחד ולהשתמש בזה להשגת פישוטים
  • חזקות חשובות של מספרים מרוכבים: הצגת חזקות של הביטויים 1+i ו-1−i, ולהבין את החשיבות של חישוב נכון שלהן.

תרגול קצר

חישוב (1+i)^2

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את הערך של (1+i) בחזקה 2 ופשט את התוצאה.

מספרים מרוכביםחזקהפישוט

רמז: פתח את הסוגריים תוך שימוש ב-i^2 = -1

פתרון מלא

תשובה סופית: 2i

(1+i)^2 = (1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i

חישוב (1−i)^3

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הערך של (1−i) בחזקה 3 ופשט את התוצאה.

מספרים מרוכביםחזקהפישוט

רמז: פתח את הסוגריים בעזרת הכפלה של ביטוי בחזקה 3 ו-i^2 = -1

פתרון מלא

תשובה סופית: -2 - 2i

(1−i)^3 = (1−i)^2*(1−i) = (1−2i + i^2)*(1−i) = (1−2i −1)*(1−i) = -2i*(1−i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i

חישוב (1+i)^{17}

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הערך של (1+i) בחזקה 17 והבע בתוצאה משולבת פשוטה.

מספרים מרוכביםחזקה גבוההפישוט מתקדם

רמז: השתמש בבינום של ניוטון או זהותות מוכרות לחישוב חזקות גבוהות של ביטויים. זכור i^2 = -1

פתרון מלא

תשובה סופית: פישוט מפורט נדרש, כאן סמלי בלבד

משתמשים בקריאת פיתוח לפי חזקות או שימוש במספרים מרוכבים בצורת פולרית (הערה: בהיעדר הסבר מפורט בשיעור, נניח חישוב ידני או שימוש זהירות).

פישוט ביטוי (1+i)^n + (1−i)^n

רמת קושי: בגרות

ממתין

פשט את הביטוי (1+i)^n + (1−i)^n עבור n טבעי כלשהו.

מספרים מרוכביםחזקהפישוט

רמז: יש לזכור את תכונות החזקות של (1±i) ולנסות לפתח או להשתמש בתבניות.

פתרון מלא

תשובה סופית: תלוי ב-n, לרוב נוציא ביטוי ממשי מפושט.

זיהוי שקבלת ביטוי ממשי מהסכום של שתי החזקות. פתרון מופשט מתוך הידע על חזקות אלו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך לחשב (1+i)^2 בפישוט מהיר

שלבים פשוטים לחישוב חזקה של מספר מרוכב

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא את התוצאה של (1+i)^2 בפישוט במונחים של מספרים ממשיים ו-i

  2. נתון 1

    נתון 1

    הגדרה: i הוא השורש הריבועי של -1, כלומר i^2 = -1
  3. נתון 2

    נתון 2

    הביטוי: (1+i)^2
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    פתח את הסוגריים של הביטוי על ידי הכפלת הביטוי בעצמו, ואז החלף את i^2 בערך -1 לפישוט.

  5. נוסחה

    (1+i)(1+i) = 1 + i + i + i^2

    1 + 2i + i^2(1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    החלף i^2 ב-(-1) ופשט

    החלף i^2 ב-(-1) ופשט

    1 + 2i - 1 = 2i
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    את התוצאה הסופית קיבלנו היא 2i

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הביטוי והגדרת i

מה עושים

יודעים ש-i^2 = -1 והביטוי (1+i)^2

למה

זאת ההגדרה הבסיסית של i ויסודית לפתיחת הסוגריים.

הגדרת i וכבר יש לנו את הביטוי שאותו נפתח.

2

בחירת שיטה

כפול (1+i) בעצמו

מה עושים

נכפיל (1+i) ב-(1+i)

למה

הכפלה זו נותנת בסיס לפישוט הביטוי לחזקות.

פתחו את הסוגריים בעזרת חוק הפילוג.

3

בניית משוואה

פיתוח הביטוי

מה עושים

(1+i)(1+i) = 1 + i + i + i^2

למה

מיישמים את חוק הפילוג של כפל זוג מספרים

פותחים זוג סוגריים ומכפילים כל רכיב ברכיב

נוסחה / הצבה

1 + 2i + i^2(1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2

זכרו שכל i^2 הוא -1

4

פתרון

החלפת i^2 ופישוט

מה עושים

החלף i^2 ב-(-1) ופשט

למה

כי לפי הגדרת i, i^2 = -1

החלפת i^2 בערכו מאפשר צמצום הביטוי לרכיבים ממשיים ומדומים

נוסחה / הצבה

1 + 2i - 1 = 2i

בדקו שכל הסימנים נכונים

5

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

את התוצאה הסופית קיבלנו היא 2i

למה

זו התוצאה שהתקבלה לאחר פיתוח ופישוט הביטוי

(1+i)^2 = 2i

פתרונות כלליים

  • חישוב (1+i)^2: (1+i)^2 = (1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i
  • חישוב (1−i)^3: (1−i)^3 = (1−i)^2*(1−i) = (1−2i + i^2)*(1−i) = (1−2i −1)*(1−i) = -2i*(1−i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i
  • חישוב (1+i)^{17}: משתמשים בקריאת פיתוח לפי חזקות או שימוש במספרים מרוכבים בצורת פולרית (הערה: בהיעדר הסבר מפורט בשיעור, נניח חישוב ידני או שימוש זהירות).
  • פישוט ביטוי (1+i)^n + (1−i)^n: זיהוי שקבלת ביטוי ממשי מהסכום של שתי החזקות. פתרון מופשט מתוך הידע על חזקות אלו.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.