השיעור סוקר את ייצוג המספרים המרוכבים במישור גאוס, מעביר את הייצוג האלגברי לייצוג טריגונומטרי, תוך הגדרת הרדיוס והזווית ומציאת הקשר ביניהם.
להבין את מישור גאוס כמצג של מספרים מרוכבים במערכת צירים
לחשב את המודול (R) של מספר מרוכב
לחשב את הזווית (אלפה) של מספר מרוכב לפי הטנגנס
להמיר מספר מרוכב מייצוג אלגברי לייצוג טריגונומטרי
ליישם את נוסחת ההצגה הטריגונומטרית Z=R(cos α + i sin α)
מישור גאוס והכנות: הצגת מישור גאוס, מערכת צירים ממשיים ומדומים, והקשר למספרים מרוכבים.
חישוב הרדיוס והזווית: הגדרת המרחק מהראשית (R) והזווית (α) באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות.
הצגה טריגונומטרית: המעבר מהצגה אלגברית Z = X + Yi לצורה טריגונומטרית Z = R (cos α + i sin α)

תרגול קצר

המר מספר מרוכב מ-3+4i לצורה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתון המספר המרוכב Z=3+4i. המירו אותו לייצוג הטריגונומטרי שלו Z=R(cos α + i sin α).

מספרים מרוכביםייצוג טריגונומטרימודולזווית

רמז: חשב את R כיוון שורש של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע, α כטנגנס ההיפוך Y חלקי X.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z = 5 (cos 53.13° + i sin 53.13°)

ראשית מחשבים R = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5. חישוב הזווית α: tan α = 4/3. α = arctan(4/3) ≈ 53.13 מעלות. לכן, Z = 5 (cos 53.13° + i sin 53.13°).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

המר מספר מרוכב לצורה טריגונומטרית

שלבים פשוטים לפתרון תרגיל על מספר מרוכב

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המודול R / הזווית α / הייצוג הטריגונומטרי Z = R(cos α + i sin α)
נתון 1
נתון 1
מספר מרוכב Z = 3 + 4i
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב R כמרחק מהראשית, α מהטנגנס, ורשום את התוצאה בפורמט הטריגונומטרי
נוסחה
R = שורש ריבועי של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע
R = sqrt(3^2 + 4^2)R = 3^2 + 4^2
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
α = ארקטנגנס של Y חלקי X
α = ארקטנגנס של Y חלקי X
alpha = arctan(4 / 3)α = arctan(Y / X)
תוצאה
מסיימים בתשובה
Z = 3 + 4i
בדיקה
בדיקה קצרה
- מיקום הנקודה במישור
- חישוב נכון של R
- זהירות: בלבול בין x ו-y בהגדרת הזווית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון המספר המרוכב

מה עושים

Z = 3 + 4i

למה

מספר המרוכב הוא נקודה במישור גאוס עם X=3 ו-Y=4

נתון המספר המרוכב כמספר אלגברי עם רכיב ממשי וחלק מדומה

פתרון

חשב את המודול R

מה עושים

R = שורש ריבועי של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע

למה

R הוא המרחק בין הנקודה לראשית הצירים

R = √(X² + Y²) = √(3² + 4²) = 5

נוסחה / הצבה

R = sqrt(3^2 + 4^2)R = 3^2 + 4^2

זכור לחשב תחילה את ריבועי המספרים

פתרון

חשב את הזווית α

מה עושים

α = ארקטנגנס של Y חלקי X

למה

α היא הזווית בין הוקטור לבין ציר ה-X החיובי

α = arctan(4/3) ≈ 53.13 מעלות

נוסחה / הצבה

alpha = arctan(4 / 3)α = arctan(Y / X)= ( (4)/(3) )

השתמש במחשבון מדעי

בחירת שיטה

כתוב את הייצוג הטריגונומטרי

מה עושים

כתוב Z = R (cos α + i sin α)

למה

כך מציגים את המספר המרוכב באופן טריגונומטרי

Z = 5 (cos 53.13° + i sin 53.13°)

נוסחה / הצבה

Z = R (cos alpha + i sin alpha)Z = R (cos α + i sin α)Z = R ( + i )

שמור על סימני ה-i והזווית הנכונה

פתרונות כלליים

המר מספר מרוכב מ-3+4i לצורה טריגונומטרית: ראשית מחשבים R = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5. חישוב הזווית α: tan α = 4/3. α = arctan(4/3) ≈ 53.13 מעלות. לכן, Z = 5 (cos 53.13° + i sin 53.13°).

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. הצגה טריגונומטרית

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המודול R / הזווית α / הייצוג הטריגונומטרי Z = R(cos α + i sin α)

נתון 1

הרעיון המרכזי

R = שורש ריבועי של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע

נבנה משוואה

α = ארקטנגנס של Y חלקי X

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתון המספר המרוכב

חשב את המודול R

חשב את הזווית α

כתוב את הייצוג הטריגונומטרי

פתרונות כלליים